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Mathematik-Online-Test:

Analysis einer Veränderlichen, Differentialgleichungen, komplexe Zahlen, lineare Algebra, Test 1

Aufgabe 1:
Die reelle Matrix

$\displaystyle A=\left(\begin{array}{rrr} -1 & -1 & 0 \\ 2 & -3 & -1 \\ 0 & 2 & -5 \end{array} \right) $

besitzt einen ganzzahligen Eigenwert mit algebraischer Vielfachheit $ 3$. Bestimmen Sie diesen Eigenwert:

$ \lambda =$ .

Bestimmen Sie die Jordansche Normalform $ J$ von $ A$. Beginnen Sie oben mit dem größten Jordan-Kästchen:

$ J= \left(\rule{0pt}{8ex}\right.$
0
0
0 0
$ \left.\rule{0pt}{8ex}\right)$ .

Berechnen Sie eine symmetrische Matrix $ T$ mit möglichst kleinen nichtnegativen ganzzahligen Einträgen, so daß $ T^{-1}AT=J$ gilt:

$ T= \left(\rule{0pt}{8ex}\right.$
$ \left.\rule{0pt}{8ex}\right)$ .

Welche der folgenden Aussagen gilt für alle $ 3\times 3$ Matrizen $ A$ mit reellen Einträgen? Es bezeichne dabei $ J_{A}$ die Jordansche Normalform von $ A$.

keine Angabe
Es gibt eine symmetrische Matrix $ T$ mit $ T^{-1}AT=J_{A}$
Es gibt eine Matrix $ T$ mit reellen Einträgen und $ T^{-1}AT=J_{A}$
Es gibt eine unitäre Matrix $ T$ mit $ T^{-1}AT=J_{A}$
Es gibt eine quadratische Matrix $ T$ mit $ T^{-1}AT=J_{A}$

Aufgabe 2:
Bestimmen Sie für die Quadrik

$\displaystyle Q:\, 11x_{1}^{2}-2x_{2}^{2}+5x_{3}^{2}+12x_{1}x_{2}+12x_{2}x_{3}+ 78x_{1}+32x_{2}+12x_3 + 133 =0 $

a)
die Matrixform $ x^{\operatorname t}Ax+2a^{\operatorname t}x+c=0$
b)
die euklidische Normalform
c)
den Typ.

Antwort:

a)
$ A= \left(\rule{0pt}{8ex}\right.$
$ \left.\rule{0pt}{8ex}\right)$ , $ a= \left(\rule{0pt}{8ex}\right.$
$ \left.\rule{0pt}{8ex}\right)$ , $ c=$  
b)
$ z_1^2$ $ +$ $ z_2^2$ $ +$ $ z_3^2=0$
c)
Ellipsoid                      einschaliges Hyperboloid                      Kegel         
Zeppelin                      hyperbolisches Paraboloid                         

Aufgabe 3:
Gegeben sei das inhomogene Differentialgleichungssystem $ Y'=AY+B(x)$ .

$\displaystyle A= \left(\begin{array}{rrr} 9 & -5 & -3 \\ 14 & -8 & -5 \\ 2 & ... ...= \left(\begin{array}{c} 4 e^{-x} \\ 9 e^{-x} \\ -3 e^{-x} \end{array}\right)$

a)
Berechnen Sie die Eigenwerte $ \lambda_1$ und $ \lambda_2$ der Matrix $ A$ in aufsteigender Reihenfolge.

$ \lambda_1=$          $ \lambda_2=$

Bestimmen Sie die Jordan-Normalform $ J$ zu $ A$ . Beginnen Sie mit dem Wert $ \lambda_1$ als ersten Eintrag.

$ J= \left(\rule{0pt}{8ex}\right.$
0
0
0 0
$ \left.\rule{0pt}{8ex}\right)$ .

Vervollständigen Sie nachstehende Transformationsmatrix $ T$ , so dass $ T^{-1}AT=J$ gilt:

$ T= \left(\rule{0pt}{8ex}\right.$
$ 1$
$ 1$
$ 1$
$ \left.\rule{0pt}{8ex}\right)$ .

Berechnen Sie die Inverse Matrix $ T^{-1}$ von $ T$ .

$ T^{-1}= \left(\rule{0pt}{8ex}\right.$
$ \left.\rule{0pt}{8ex}\right)$ .

b)
Bestimmen Sie alle Lösungen des transformierten homogenen Systems $ Z'=JZ$ .

$ Z= c_1 e^{\lambda_1x} \left(\rule{0pt}{8ex}\right.$
$ \left.\rule{0pt}{8ex}\right) + c_2 e^{\lambda_2x} \left(\rule{0pt}{8ex}\right.$
$ \left.\rule{0pt}{8ex}\right) + c_3 e^{\lambda_2x} \left(\rule{0pt}{8ex}\right.$
0
$ \left.\rule{0pt}{8ex}\right)$ .

Bestimmen Sie alle Lösungen des homogenen Systems $ Y'=AY$ .

$ Y= c_1 e^{\lambda_1x} \left(\rule{0pt}{8ex}\right.$
$ \left.\rule{0pt}{8ex}\right) + c_2 e^{\lambda_2x} \left(\rule{0pt}{8ex}\right.$
$ x+$
$ x+$
$ x+$
$ \left.\rule{0pt}{8ex}\right) + c_3 e^{\lambda_2x} \left(\rule{0pt}{8ex}\right.$
$ \left.\rule{0pt}{8ex}\right)$ .

c)
Berechnen Sie den Störterm $ \tilde{B}$ des transformierten Systems $ Z'=JZ+\tilde{B}$ .

$ \tilde{B}= \left(\rule{0pt}{8ex}\right.$
$ \left.\rule{0pt}{8ex}\right) e^{-x}$ .

Bestimmen Sie eine partikuläre Lösung des transformierten Systems $ Z'=JZ+\tilde{B}$ .

$ Z_p= \left(\rule{0pt}{8ex}\right.$
$ x$ $ +$
$ x$ $ +$
$ x$ $ +$
$ \left.\rule{0pt}{8ex}\right) e^{-x}$ .

Bestimmen Sie eine partikuläre Lösung $ Y_p$ des inhomogenen Systems $ Y'=AY+B(x)$ .

$ Y_p= \left(\rule{0pt}{8ex}\right.$
$ x$ $ +$
$ x$ $ +$
$ x$ $ +$
$ \left.\rule{0pt}{8ex}\right) e^{-x}$ .

Aufgabe 4:
Gegeben sei die Funktion

$\displaystyle g(x)=\frac{\cosh(x)-1}{\sinh(x)}\,. $

  1. Definitionsbereich

    Bestimmen Sie die Definitionslücke $ x_1$ von $ g$ .

    $ x_1=$

    Berechnen Sie den Grenzwert $ a=\lim\limits_{x\to x_1} g(x)$ .

    $ a=$

    Im Folgenden wird nur noch die Funktion $ f$ mit

    \begin{displaymath} f(x)= \begin{cases} g(x), & x\neq x_1\\ a, & x=x_1 \end{cases}\end{displaymath}

    betrachtet.

  2. Symmetrie

    keine Angabe
    $ f$ ist symmetrisch zur $ x$ -Achse
    $ f$ ist symmetrisch zur $ y$ -Achse
    $ f$ ist symmetrisch zum Ursprung
    $ f$ ist nicht symmetrisch

  3. Nullstellen

    Geben Sie die relle Nullstelle von $ f$ an.

    $ x_2=$

  4. Extrempunkte

    keine Angabe
    $ f$ besitzt keine Extrempunkte
    $ f$ besitzt genau einen Extrempunkt
    $ f$ besitzt genau zwei Extrempunkt
    $ f$ besitzt drei oder mehr Extrempunkte

  5. Wendepunkte

    keine Angabe
    $ f$ besitzt keine Wendepunkte
    $ f$ besitzt genau einen Wendepunkt
    $ f$ besitzt genau zwei Wendepunkt
    $ f$ besitzt drei oder mehr Wendepunkte

  6. Asymptoten

    $ f$ besitzt die Gerade $ y=$ $ x +$ als Asymptote für $ x\to\infty$
    und die Gerade $ y=$ $ x +$ als Asymptote für $ x\to-\infty$ .

  7. Integrale

    $ \int\limits_{\ln(1/2)}^{\ln(2)} f(x)\,dx=$
    $ \int\limits_{\ln(2)}^{\ln(3)} f(x)\,dx=$ $ \ln(2)-3\ln($ $ )$

  8. Graph

    Geben Sie an, welcher Graph zu $ f$ gehört.

     keine Angabe Graph 1 Graph 2
       \includegraphics[width=0.3\linewidth]{kurvendiskussion2_1.eps} \includegraphics[width=0.3\linewidth]{kurvendiskussion2_2.eps}
       Graph 3 Graph 4
       \includegraphics[width=0.3\linewidth]{kurvendiskussion2_3.eps} \includegraphics[width=0.3\linewidth]{kurvendiskussion2_4.eps}

Aufgabe 5:
Geben Sie an, ob die folgenden Ausdrücke konvergieren und berechnen Sie bei Konvergenz den Grenzwert.
a) $ \displaystyle{\pi/\left(\int_0^{\infty}\frac{1}{4\sqrt{x}+x\sqrt{x}}\,dx\right)}$                         b) $ \displaystyle{\sum_{k=0}^\infty \frac{k}{k^2+1}}$
c) $ \displaystyle{\lim_{x\to 0}\left(\frac{d}{dx}\,e^{-1/x^2}\right)}$                         d) $ \displaystyle{\lim_{n\to \infty}\left(n^3/\binom{n}{3}\right)}$

Antwort:

a)
divergiert        konvergiert        mit Grenzwert
b)
divergiert        konvergiert        mit Grenzwert
c)
divergiert        konvergiert        mit Grenzwert
d)
divergiert        konvergiert        mit Grenzwert

Aufgabe 6:
Welches der grauen Gebiete in der komplexen Zahlenebene wird durch die Menge

$\displaystyle M=\left\{z\in\mathbb{C}: \vert\operatorname{Im}(z)\vert+\vert\operatorname{Re}(z)\vert\leq 1\right\} $

beschrieben?

 keine Angabe Gebiet 1 Gebiet 2
   \includegraphics[width=0.3\linewidth]{komplexe_ungleichung2_1.eps} \includegraphics[width=0.3\linewidth]{komplexe_ungleichung2_2.eps}
   Gebiet 3 Gebiet 4
   \includegraphics[width=0.3\linewidth]{komplexe_ungleichung2_3.eps} \includegraphics[width=0.3\linewidth]{komplexe_ungleichung2_4.eps}

   
(Konzipiert von W. Kimmerle unter Mitwirkung von A. App) automatisch erstellt am 11.8.2017