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Mathematik-Online-Test:

Differentialrechnung, Integralrechnung, Test 6

Aufgabe 1:
Bestimmen Sie für jede der folgenden Potenzreihen ihren Konvergenzradius $ r ,$ die Menge $ A$ aller $ x \in \mathbb{R}$, für die die Reihe absolut konvergiert, und die Menge $ K$ aller $ x \in \mathbb{R}$, für die die Reihe konvergiert:

$ {\displaystyle{\sum_{n=1}^\infty\,\frac{(-3)^n}{n + \sqrt{n}} \,x^n}}\,, \quad\,$ $ r=1\Big/$
keine Aussage
$ A=(r,r)$
$ A=[r,r]$
$ A=(r,r]$
$ A=[r,r)$
keine Aussage
$ K=(r,r)$
$ K=[r,r]$
$ K=(r,r]$
$ K=[r,r)$
   
$ {\displaystyle{\sum_{n=1}^\infty\,(-1)^n \left ( \frac{2}{3} \right )^n \,x^n}}\,, \quad\,$ $ r=$$ \Big/2$
keine Aussage
$ A=(r,r)$
$ A=[r,r]$
$ A=(r,r]$
$ A=[r,r)$
keine Aussage
$ K=(r,r)$
$ K=[r,r]$
$ K=(r,r]$
$ K=[r,r)$
   
$ {\displaystyle{\sum_{n=1}^\infty\,\frac{1}{n^2 \cdot 4^n} \,x^n}}\,, \quad\,$ $ r=$
keine Aussage
$ A=(r,r)$
$ A=[r,r]$
$ A=(r,r]$
$ A=[r,r)$
keine Aussage
$ K=(r,r)$
$ K=[r,r]$
$ K=(r,r]$
$ K=[r,r)$

Aufgabe 2:
Gegeben sei die Funktion

$\displaystyle f(x)=\frac{x^2+11x-36}{(x+7)(x-1)^2}\,.$

Geben Sie den geeigneten Ansatz für die reelle Partialbruchzerlegung von $ f$ an und berechnen Sie die Koeffizienten $ a$ , $ b$ und $ c$ .

keine Angabe    
$ {\displaystyle{f(x)\,=\,\frac{a}{x-7}+\frac{bx+c}{(x-1)^2}}}$ $ {\displaystyle{f(x)\,=\,\frac{a}{x+7}+\frac{b}{x-1}+\frac{c}{x-1}}}$
$ {\displaystyle{f(x)\,=\,\frac{a}{x+7}+\frac{b}{x-1}+\frac{c}{(x-1)^2}}}$ $ {\displaystyle{f(x)\,=\,\frac{a}{x-7}+\frac{bx+c}{x^2+1}}}$

$ a=$ $ b=$ $ c=$

Aufgabe 3:
#./interaufg235.tex#Berechnen Sie

a)     $ \displaystyle\int\limits_0^\pi x \sin (2x)\, dx$                  b)     $ \displaystyle\int\limits_1^{\rm {e}} \ln x \,\frac{dx}{x}$                  c)     $ \displaystyle\int \frac{2x+3}{x^2+4} \,dx$

Antwort:
a) $ \,\pi/$         b) $ /$
c) $ \ln\Big\vert$$ x^2$ $ +$ $ x$ $ +$ $ \Big\vert$ $ +$ $ /$ $ \, \arctan\Big($$ x\,/$$ \Big) + c$
(Brüche gekürzt, Nenner positiv)

Aufgabe 4:
#./interaufg505.tex#Berechnen Sie
a)     $ {\displaystyle{\int \limits_{1}^{3} \displaystyle \frac{dx}{\sqrt {x} (1+x)}}}$                  b)     $ {\displaystyle{\int \limits_{2}^{3} \displaystyle \frac{\ln x}{(x - 1)^2}\,dx}}$

Antwort:
a) $ \pi/$                 b) $ \ln($ $ /\sqrt{3} )$

Aufgabe 5:
Untersuchen Sie, ob die folgenden uneigentlichen Integrale existieren, und berechnen Sie gegebenenfalls ihre Werte.
a)     $ \displaystyle{\int\limits_{2}^\infty\frac{x^2}{\sqrt{x^3-1}}}\,dx$                                  b)     $ \displaystyle{\int\limits_{1}^\infty\frac{6}{\sqrt{x}(x+1)\pi}\,dx}$
c)     $ \displaystyle{\int\limits_{-\infty}^\infty \cos^2x \sin x\,dx}$                                  d)     $ \displaystyle{\int\limits_{-1}^9\frac{dx}{\sqrt{\vert x\vert}}}$

Antwort:

a)
existiert nicht        existiertmit Wert
b)
existiert nicht        existiertmit Wert
c)
existiert nicht        existiertmit Wert
d)
existiert nicht        existiertmit Wert
Aufgabe 6:
Bestimmen Sie für die Funktionen
a) $ f(x)=\displaystyle{\exp\left(\frac{1}{1+x}\right)}$              b) $ f(x)=\displaystyle{\frac{x^2-2}{(x-1)(x+2)}}$              c) $ f(x)=\displaystyle{(x-1)^{(x+1)}}$
die ersten drei Terme ihrer Taylor-Entwicklung. Geben Sie im Fall a) auch den Konvergenzradius $ r$ der Taylor-Entwicklung an.

Antwort:
a)
$ \displaystyle\frac{e}{2}\Big($ $ +$ $ x$ $ +$ $ x^{2}\Big) $ ,         $ r=$
b)
$ \displaystyle\frac{1}{8}\Big($ $ +$ $ (x+1)$ $ +$ $ (x+1)^{2}\Big)$
c)
$ +$ $ (x-2)$ $ +$ $ (x-2)^{2}$

   
(Zusammengestellt von G. Blind unter Mitwirkung von S. Poehler und A. Schlömerkemper) automatisch erstellt am 11.8.2017