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Mathematik-Online-Test:

Topologie, Test 1

Aufgabe 1:
Sei $ (X,\mathcal{T})$ ein topologischer Raum und sei $ M\subset X$ mit der Spurtopologie versehen. Kreuzen Sie bitte an, welche der folgenden Aussagen stets korrekt sind.

  keine Angabe ja nein
Jede offene Menge in $ M$ ist auch offen in $ X$.
Ist $ A$ abgeschlossen in $ X$ so ist $ A\cap M$ abgeschlossen in $ M$.
Ist $ X$ kompakt so ist $ M$ ebenfalls kompakt.
Ist $ M$ ein $ T_2$-Raum dann ist $ X$ ebenfalls ein $ T_2$-Raum.
Ist $ X$ lokalkompakt so ist $ M$ ebenfalls lokalkompakt.
Ist $ X$ kompakt, dann ist $ X$ auch lokalkompakt.

Aufgabe 2:
Gegeben sei der topologische Raum $ X = \{1,2,3,4,5\}$ mit der Topologie

$\displaystyle \{\emptyset,\{2\},\{2,3\},\{1,2\},\{1,2,3\}, \{2,3,4,5\} , X \} $

Bestimmen Sie eine Basis bzw. Subbasis von $ X$ mit minimaler Kardinalität.

  keine Angabe Element der Basis nicht Element der Basis
$ \emptyset$
$ \{2\}$
$ \{1,2\}$
$ \{2,3\}$
$ \{1,2,3\}$
$ \{2,3,4,5\}$
$ X$

Es gibt zwei verschiedene minimale Subbasen. Geben Sie zuerst die Subbasis mit den kleineren Mengen an.

  keine Angabe Element der Subbasis nicht Element der Subbasis
$ \emptyset$
$ \{2\}$
$ \{1,2\}$
$ \{2,3\}$
$ \{1,2,3\}$
$ \{2,3,4,5\}$
$ X$

  keine Angabe Element der Subbasis nicht Element der Subbasis
$ \emptyset$
$ \{2\}$
$ \{1,2\}$
$ \{2,3\}$
$ \{1,2,3\}$
$ \{2,3,4,5\}$
$ X$

Aufgabe 3:
Bezeichne $ \pi_1 $ den Fundamentalgruppenfunktor. Seien $ X,Y$ topologische Räume und $ f:X \longrightarrow Y$ eine stetige Abbildung. Kreuzen Sie bitte an, welche der folgenden Aussagen stets korrekt sind.

  keine Angabe ja nein
Ist $ f$ ein Homöomorphismus, dann ist $ \pi_1(f)$ ein Isomorphismus.
Ist das Bild von $ \pi_1(f)$ die trivale Untergruppe, dann ist $ \pi_1(X)=1$.
Ist $ X = S^1$ und $ Y=S^2$, dann ist das Bild von $ \pi_1(f)$ die trivale Untergruppe.

Aufgabe 4:
Kreuzen Sie bitte an, welche der folgenden Aussagen stets korrekt sind.

  keine Angabe ja nein
Das stetige Bild einer wegzusammenhängenden Menge ist wieder wegzusammenhängend.
$ \mathbb{Q}\subset \mathbb{R}$ versehen mit der Spurtopologie bzgl. der Standardtopologie auf $ \mathbb{R}$ ist zusammenhängend.
Das stetige Bild eines zusammenhängenden topologischen Raumes ist wegzusammenhängend.
Ein topologischer Raum ist ein $ T_1$-Raum genau dann, wenn das Komplement jeder einpunktigen Menge offen ist.
Ist $ X$ ein wegzusammenhängender topologischer Raum, dann ist $ X$ auch lokal wegzusammenhängend.

Aufgabe 5:
Sei $ \mathbb{R}$ versehen mit der Standardtopologie und $ f:\{1,2,3,4\}\longrightarrow \mathbb{R}$ mit $ f(i)=(-1)^{i}$. Bestimmen Sie die initiale Topologie von $ f$.
  keine Angabe Element der Topologie nicht Element der Topologie
$ \emptyset$
$ \{1\}$
$ \{2\}$
$ \{3\}$
$ \{4\}$
$ \{1,2\}$
$ \{1,3\}$
$ \{1,4\}$
$ \{2,3\}$
$ \{2,4\}$
$ \{3,4\}$
$ \{1,2,3\}$
$ \{1,2,4\}$
$ \{1,3,4\}$
$ \{2,3,4\}$
$ X$
Aufgabe 6:
Beweisen Sie: Sei $ X$ ein zusammenhängender $ T_2$-Raum, so dass jeder Punkt eine offene! kompakte Umgebung besitzt, dann ist $ X$ kompakt.

Welche Beweise sind richtig?
  keine Angabe richtig falsch
Sei $ \bigcup\limits_{i\in I}O_i$ eine offene Überdeckung von $ X$. $ X$ ist zusammenhängend und lokalkompakt $ \Rightarrow$ Es gibt eine endliche Teilüberdeckung $ \Rightarrow$ $ X$ kompakt.
Sei $ p\in X$. Sei $ U$ offene Umgebung von $ p$. $ U^c$ ist offen, da $ U$ kompakt ist. $ U\cup U^c$ ist endliche offene Überdeckung von $ X$ $ \Rightarrow$ $ X$ kompakt.
Sei $ p\in X$ $ \Rightarrow$ Es gibt eine offene kompakte Umgebung $ U$ von $ p$ $ \stackrel{T_2}{\Rightarrow}$ $ U$ ist abgeschlossen und offen. Da $ X$ zusammenhängend ist folgt $ U=X$ kompakt.
$ T_2$ $ \Rightarrow$ $ T_1$ $ \Rightarrow$ jeder Punkt ist abgeschlossen. Jeder Punkt besitzt eine offene kompakte Umgebung $ \Rightarrow$ jeder Punkt ist offen. Da $ X$ zusammenhängend ist folgt $ X$ besteht nur aus einem Punkt $ \Rightarrow$ $ X$ kompakt.

   
(Konzipiert von W. Kimmerle unter Mitwirkung von M. Knödler) automatisch erstellt am 11.8.2017