Mathematik-Online-Test: Komplexe Zahlen, Polynome, Vektorrechnung, lineare Algebra

Aufgabe 1:
Gegeben seien die Abbildung

$\displaystyle f: \mathbb{C}\longrightarrow\mathbb{C} , \quad z\longmapsto z\,{\rm {Im}}\,z$

und die Gerade $G:=\{ (1+2{\rm {i}} )\,t : t\in\mathbb{R} \}\subseteq \mathbb{C}$ .

Bestimmen Sie das Bild von unter .

$f(G)={\displaystyle{\Bigl\{ \Bigl(}}$ $1 \ +$ ${\rm {i}} {\displaystyle{\Bigr) \ t}}$

$t\geq$ ${\displaystyle{\Bigr\}}}$

Aufgabe 2:
Bestimmen Sie für jede der folgenden komplexen Gleichungen ihre Lösungen

und

(mit ${\rm {Re}}\, z_1<{\rm {Re}}\,z_2$ ).

a): $z^2=2 {\rm {i}}$

${\rm {i}}$ , ${\rm {i}}$ .
b): $z^2-6 {\rm {i}} z -2 {\rm {i}}-9=0$
${\rm {i}}$ , ${\rm {i}}$ .

Aufgabe 3:
Gegeben sei das Polynom

a)

Bestimmen Sie die rationale Nullstelle

von

b)

Führen Sie für

das Horner-Schema durch:



				$= \ p(x_1)$

c)

Berechnen Sie die übrigen Nullstellen von

(aufsteigend sortiert, vier Nachkommastellen).

Aufgabe 4:

a)

Geben Sie den korrekten Ansatz für die reelle Partialbruchzerlegung der Funktion

$f(x)={\displaystyle{\frac{12}{(x-1)(x-2)(x-5)}}}$

an und bestimmen Sie die Konstanten

und

keine Angabe
${\displaystyle{\frac{1}{x-a}+\frac{1}{x-b}+\frac{1}{x-c}}}$		${\displaystyle{\frac{ax^2}{x-1}+\frac{bx}{x-2}+\frac{c}{x-5}}}$
${\displaystyle{\frac{a}{(x-1)(x-2)}+\frac{b}{(x-1)(x-5)}+\frac{c}{(x-2)(x-5)}}}$		${\displaystyle{\frac{a}{x-1}+\frac{b}{x-2}+\frac{c}{x-5}}}$

b)

Wie lautet der Ansatz für die reelle Partialbruchzerlegung der Funktion

${\displaystyle{g(x)=\frac{1}{(x^2+1)(x^2+2x+2)(x-1)}}}$ ?

(Die Koeffizienten sollen nicht ausgerechnet werden.)

keine Angabe
${\displaystyle{\frac{a}{x^2+1}+\frac{b}{x^2+2x+2}+\frac{c}{x-1}}}$		${\displaystyle{\frac{a}{x-{\rm {i}}}+\frac{b}{x+{\rm {i}}}+\frac{c}{x-\sqrt{2}}+\frac{d}{x+\sqrt{2}}+\frac{e}{x-1}}}$
${\displaystyle{\frac{ax+b}{x^2+1}+\frac{cx+d}{x^2+2x+2}+\frac{e}{x-1}}}$		${\displaystyle{\frac{ax+b}{x^2+1}+\frac{c}{x-\sqrt{2}}+\frac{d}{x+\sqrt{2}}+\frac{e}{x-1}}}$

Aufgabe 5:
Sei ${\cal{P}}$ der Vektorraum aller reellen Polynome. Geben Sie an, ob die folgenden Mengen Unterräume von ${\cal{P}}$ sind (J für ,, ja``, N für ,,nein``).

	ist Unterraum
$\{ p\in {\cal{P}} : p(0)=3 \}$
$\{ p\in {\cal{P}} : p(3)=0 \}$
$\{ p\in {\cal{P}} : {\rm {Grad}}\,p<4 \}$
$\{ p\in {\cal{P}} : {\rm {Grad}}\,p=4 \}$
$\{ p\in {\cal{P}} : p(0)=p(3) \}$
$\{ p\in {\cal{P}} : {\rm {alle\ Nullstellen\ von}}\ p\ {\rm {sind\ reell}} \}$
$\{ p\in {\cal{P}} : p(x)=ax^2,\ {\text{f\uml ur\ ein}}\ a\in\mathbb{R} \}$
$\{ p\in {\cal{P}} : p(x)=(x-a)^2,\ {\text{f\uml ur\ ein}}\ a\in\mathbb{R} \}$

Aufgabe 6:
Sei $V:=\{ (a_n)_{n\in\mathbb{N}} : a_n\in\mathbb{R} \ {\text{f\uml ur\ alle}} \ n\in\mathbb{N} \}$ der $\mathbb{R}$ -Vektorraum aller reellen Folgen mit der bekannten Addition und skalaren Multiplikation. Geben Sie an, ob die folgenden Abbildungen

linear sind (J für ,, ja``, N für ,,nein``).

	ist linear
$T : \quad V\longrightarrow V , \quad (a_n)_{n\in\mathbb{N}}\longmapsto (a^2_n)_{n\in\mathbb{N}}$
$T : \quad V\longrightarrow V , \quad (a_n)_{n\in\mathbb{N}}\longmapsto (3a_n)_{n\in\mathbb{N}}$
$T : \quad V\longrightarrow \mathbb{R} , \quad (a_n)_{n\in\mathbb{N}}\longmapsto 2a_4-a_6$
$T : \quad V\longrightarrow \mathbb{R} , \quad (a_n)_{n\in\mathbb{N}}\longmapsto 2a_4a_6$
$T : \quad V\longrightarrow V , \quad (a_n)_{n\in\mathbb{N}}\longmapsto (2+a_n)_{n\in\mathbb{N}}$
$T : \quad V\longrightarrow V , \quad (a_n)_{n\in\mathbb{N}}\longmapsto (a_{n+1})_{n\in\mathbb{N}}$

Aufgabe 7:
Bestimmen Sie für die Gerade

$\displaystyle g: \left(\begin{array}{c} -4 \\ -3\end{array}\right) + t \left(\begin{array}{c} 2 \\ 2 \end{array}\right),\quad t\in\mathbb{R}$

a): einen Normalenvektor
b): die Hesse-Normalform
c): den Schnittwinkel mit der -Achse

Antwort:

a): , $)^\mathrm{t}$
b)
c): $\pi/$

(auf 4 Nachkommastellen gerundet.)

Aufgabe 8:
Gegeben sei die Ebene

und die Gerade

$\displaystyle E:\quad 3x_1+x_2-x_3=2, \quad g: \quad\left(\begin{array}{c} 5\\ ... ...!\begin{array}{c} 3\\ \alpha+1 \\ 2\end{array}\!\right), \quad t\in \mathbb{R}$

mit einem Parameter $\alpha \in \mathbb{R}$ .

a): Bestimmen Sie $\alpha$ so, dass und parallel sind:
b): Berechnen Sie für dieses $\alpha$ den Abstand von und .

Antwort:

a): $\alpha=$
b): Abstand:

(auf vier Nachkommastellen gerundet.)

Aufgabe 9:
Geben Sie die Schnittgerade

der Ebenen

$\displaystyle E_1:\quad 2x_1-x_2-x_3=3 \qquad {\mbox{und}} \qquad E_2:\quad x_1-x_2+x_3=0,$

in Parameterdarstellung an.

Antwort:

$g: \left( \rule{0pt}{6ex}\right.$

$\left. \rule{0pt}{6ex}\right) + t\left( \rule{0pt}{6ex}\right.$

$\left. \rule{0pt}{6ex}\right),$ $t\in\mathbb{R}$

Aufgabe 10:

a)

Berechnen Sie:

${\displaystyle{\left< \left(\begin{array}{c} 2 \\ 1+{\rm {i}} \end{array}\righ... ... \left(\begin{array}{c} 1-{\rm {i}} \\ 2{\rm {i}} \end{array}\right)\right> =}}$

b)

Berechnen Sie die angegebenen Normen für den Vektor

$\displaystyle v=\left(\begin{array}{r} 1\\ 0\\ -2\end{array}\right) \in\mathbb{R}^3\,.$

$\Vert v \Vert _1=$ , $\Vert v \Vert _2=$ , $\Vert v \Vert _\infty =$ .

(Alle Eingaben auf vier Nachkommastellen gerundet.)

Aufgabe 11:
Geben Sie an, ob die folgenden Aussagen für alle $x, y, z\in\mathbb{R}^3$ gültig sind (J für ,, ja``, N für ,,nein``).

$\Vert x\times x \Vert _2 = \Vert x \Vert _2^2$
$x\times y = -(y\times x)$
$\left< x\times y , z\right> = -\left< z\times y , x\right>$
$\Vert x\times y \Vert _2 = \Vert x \Vert _2\,\Vert y \Vert _2\,\sin \sphericalangle\,(x, y)$
$x\times y \, \perp \, y$
$\Vert x \times y \Vert _2 = \Vert x \Vert _2 \times \Vert y \Vert _2$
$x\times y \in \mathbb{R}$
$\left< x\times y , z\right> = \Vert x \Vert _2\,\Vert y \Vert _2\,\Vert z \Vert _2$

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