Mathematik-Online-Test: Integration, Lineare Algebra

Aufgabe 1:
Geben Sie an, welche der folgenden Aussagen für beliebige reelle

-Vektoren

und beliebige reelle $(n\times n)$ -Matrizen

richtig und welche falsch sind.

a)	$\operatorname{span}\left\{u,v\right\} = \operatorname{span}\left\{u,v,2u\right\}$	keine Angabe	wahr	falsch
b)	$\operatorname{Bild}A=\operatorname{Bild}A^2$	keine Angabe	wahr	falsch
c)	$\operatorname{det}(A+B)=\operatorname{det}A+\operatorname{det}B$	keine Angabe	wahr	falsch
d)	$u^{\operatorname t}(A+A^{\operatorname t})u \geq 0$	keine Angabe	wahr	falsch
e)	und sind linear abhängig $\Rightarrow$ $u^{\operatorname t}v=0$	keine Angabe	wahr	falsch
f)	$(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$	keine Angabe	wahr	falsch

Aufgabe 2:
Geben Sie eine Stammfunktion der folgenden Integranden an und berechnen Sie die Integrale.

a) $\displaystyle\int\limits_0^\pi \cos^2 x \sin x \, dx$ b) $\displaystyle\int\limits_0^1 x^3\ln x \, dx$

Antwort:

a): Stammfunktion:
$a\cos^3x+c$ $a\cos x+c$ $a\sin^4x+c$ mit

Wert des Integrals:
b): Stammfunktion:
$b_1x^{-1}\ln x+b_2x^{-1}+c$ $b_1x^{3/2}\ln x+b_2x^{3/2}+c$ $b_1x^4\ln x+b_2x^4+c$

mit ,

Wert des Integrals:

(auf vier Dezimalstellen gerundet)

Aufgabe 3:
Bestimmen Sie für die Permutationen

$\displaystyle \pi = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\ 4 & 5 & 6 & 7 & 1 & 8 & 2 & 3 \end{pmatrix}\,,\quad \pi^{-1}\,, \quad \pi\circ\pi$

die Zyklendarstellungen und das Vorzeichen.

Antwort:

Sortieren Sie in jedem Zyklus das kleinste Element an die erste Stelle und ordnen Sie die Zyklen aufsteigend nach diesem ersten Element.

$\pi=$ keine Angabe ,

$(a\ b\ c\ d\ e)(f\ g\ h)$ ,

$(a\ b\ c\ d)(e\ f\ g\ h)$ ,

$(a\ b)(c\ d)(e\ f)(g\ h)$

mit
, , , ,
, , ,
$\sigma(\pi)=$

$\pi^{-1}=$ keine Angabe ,

$(a\ b\ c\ d\ e)(f\ g\ h)$ ,

$(a\ b\ c\ d)(e\ f\ g\ h)$ ,

$(a\ b)(c\ d)(e\ f)(g\ h)$

mit
, , , ,
, , ,
$\sigma(\pi^{-1})=$

$(\pi\circ\pi)=$ keine Angabe ,

$(a\ b\ c\ d\ e)(f\ g\ h)$ ,

$(a\ b\ c\ d)(e\ f\ g\ h)$ ,

$(a\ b)(c\ d)(e\ f)(g\ h)$

mit
, , , ,
, , ,
$\sigma(\pi\circ\pi)=$

Aufgabe 4:
Bestimmen Sie für

$\displaystyle A=\left(\begin{array}{rr} 1&0\\ 2 & -3\\ 0 & 1 \end{array}\right)... ...0 \end{array}\right)\,,\quad c=\left(\begin{array}{r} 1\\ 4 \end{array}\right)$

a): mit Hilfe der Normalengleichungen die Lösung des Ausgleichsproblems $\vert Ax-b\vert\rightarrow$ min,
b): die allgemeine Lösung des LGS $A^{\operatorname t}y=c$ .

Lösung:

Normalengleichungen:

Lösung des Ausgleichsproblems:

$\left(\rule{0cm}{1cm}\right.$

$\left.\rule{0cm}{1cm}\right)\begin{pmatrix}x_1\\ x_2\end{pmatrix}= \left(\rule{0cm}{1cm}\right.$

$\left.\rule{0cm}{1cm}\right)$ ,

$x=\left(\rule{0cm}{1cm}\right.$

$\left)\rule{0cm}{1cm}\right.$

Lösung des LGS:

$y=\left(\rule{0cm}{0.5cm}\right.$

1, ,

$\left)\rule{0cm}{0.5cm}\right.^{\operatorname t}+ s\,\left(\rule{0cm}{0.5cm}\right.$

2, ,

$\left)\rule{0cm}{0.5cm}\right.^{\operatorname t},\,s\in\mathbb{R}$

Aufgabe 5:
Bestimmen Sie für die Matrix

$\begin{displaymath}A=\left( \begin{array}{rrr} 3 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & -4 \\ -1 & 1 & -2 \end{array}\right) \end{displaymath}$

die Determinante, den Rang, die unterschiedlichen Eigenwerte $\lambda_1$ , $\lambda_2$ und je einen dazugehörigen Eigenvektor

sowie die Jordan-Normalform.

Lösung: Geben Sie die Blöcke in der Jordan-Form aufsteigend sortiert nach den zugehörigen Eigenwerten an.

$\operatorname{det}A=$

$\operatorname{Rang}A=$

$\lambda_1=$

$<\quad\lambda_2=$

$u_1=\left(\rule{0cm}{.5cm}\right.$

$\left.\rule{0cm}{.5cm}\right)^{\operatorname t}$

$u_2=\left(\rule{0cm}{.5cm}\right.$

$\left.\rule{0cm}{.5cm}\right)^{\operatorname t}$

$J=\left(\rule{0cm}{1.5cm}\right.$

		0
0
0	0

$\left.\rule{0cm}{1.5cm}\right)$

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$\pi=$	keine Angabe ,
	$(a\ b\ c\ d\ e)(f\ g\ h)$ ,
	$(a\ b\ c\ d)(e\ f\ g\ h)$ ,
	$(a\ b)(c\ d)(e\ f)(g\ h)$

$\pi^{-1}=$	keine Angabe ,
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	$(a\ b\ c\ d)(e\ f\ g\ h)$ ,
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