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Mathematik-Online-Test:

Algebra, Test 1

Aufgabe 1:
Welche der folgenden Aussagen sind korrekt?

  keine Angabe wahr falsch
$ 2$ ist ein irreduzibles Element von $ \mathbb{Z}[i] .$
       
$ 7$ ist ein irreduzibles Element von $ \mathbb{Z}[i] .$
       
$ 1 + \sqrt{-5}$ ist ein Primelement von $ \mathbb{Z}[\sqrt{-5}] .$
       
$ 2$ ist ein Primelement von $ \mathbb{Z}_2 .$

$ \mathbb{Z}_2$ bedeutet die Lokalisation von $ \mathbb{Z}$ an $ 2 .$

Aufgabe 2:

Tragen Sie in die vorgesehenen Kästchen entweder die gesuchte Zahl ein oder bei Fragen, die mit ja oder nein zu beantworten sind, eine 1 für ja und eine 0 für nein.

Gruppe $ G$ $ \vert G\vert$ Ist $ G$ auflösbar ? $ \vert Z(G)\vert$ Hat $ G$ abelsche 2 - Sylowgruppen
$ S_4 $
$ A_5 $
$ GL(2,3) $
$ F_9^* $

$ F_9$ bezeichnet den Körper mit $ 9$ Elementen.

$ GL(2,3) $ ist die Gruppe der regulären $ 2 \times 2$ - Matrizen über dem Körper mit $ 3$ Elementen.

Aufgabe 3:

Polynom $ f \in \mathbb{Z}[x]$ Ist $ f$ irreduzibel ? Ist $ f$ irreduzibel mod 2 ?
$ x^3-5x^2+2x+1 $ ja nein ja nein
$ x^4-4x^3+6x^2-4x+4 $ ja nein ja nein
$ 3x^4-3x+3 $ ja nein ja nein

Polynom $ f \in \mathbb{Q}[x,y]$ Ist $ f$ irreduzibel ?
$ x^3-y^3 $ ja nein
$ y^4+(x+1)^2y^2+x^2-1 $ ja nein

Aufgabe 4:

Die Zeilen der Matrix

\begin{displaymath} A= \left( \begin{array}{rrrr} -1 & 0& 2& 0\\ 1 &20&-50&-48\\ 3&4&-10&-8\\ 2&4&0&-4 \end{array}\right) \end{displaymath}

spannen eine Untergruppe $ L$ von $ \mathbb{Z}^4$ auf.
a)
Bestimmen Sie die Elementarteiler von $ \mathbb{Z}^4/L$ . Tragen Sie diese positiv in aufsteigender Größe ein.

b)
Schreiben Sie Tor$ (\mathbb{Z}^4/L)$ als ein direktes Produkt von Gruppen von Primzahlpotenzordnung (in aufsteigender Größe).
$ \mathbb{Z}$ / $ \mathbb{Z} \times \mathbb{Z}$ / $ \mathbb{Z} \times \mathbb{Z}$ / $ \mathbb{Z} \times \mathbb{Z}$ / $ \mathbb{Z}$

c)
Welches ist die größte Ordnung die ein Torsionselement in $ \mathbb{Z}^4/L$ hat?
d)
Was ist die minimale Erzeugendenanzahl von $ \mathbb{Z}^4/L .$
e)
Was ist die minimale Erzeugendenanzahl einer $ 2$ - Sylowgruppe von Tor$ (\mathbb{Z}^4/L)$ .
f)
Was ist die minimale Erzeugendenanzahl von einer $ 3$ - Sylowgruppe von Tor$ (\mathbb{Z}^4/L)$ .

Aufgabe 5:

Tragen Sie in die vorgesehenen Kästchen entweder ein Kreuz oder die gesuchte Zahl ein .

Körpererweiterung $ L/K$ Ist $ L/K$ normal ? Grad der normalen Hülle von $ L/K .$
$ \mathbb{Q}(\sqrt{-5}, \sqrt{3}) /\mathbb{Q} $ ja nein
$ \mathbb{Q}(\sqrt[4]{5}) /\mathbb{Q} $ ja nein

Polynom $ f \in \mathbb{Q}[x]$ Grad des Zerfällungskörpers $ L$ von $ f$ Grad $ L \cap \mathbb{R} $
$ x^4 - 4 $
$ x^5 - 2 $

Aufgabe 6:

Sei $ L/K$ eine Galois - Erweiterung mit Galois - Gruppe $ G .$ Sei $ \vert L:K\vert = n $.

Welche der folgenden Aussagen sind korrekt ?

  keine Angabe wahr falsch
Zu jedem Primteiler $ p$ von $ n$ gibt es mindestens einen Zwischenkörper $ Z$ mit $ \vert L:Z\vert = p .$
       
Zu jedem Primteiler $ p$ von $ n$ gibt es mindestens einen Zwischenkörper $ Z$ mit $ \vert Z:K\vert = p .$
       
Ist $ n = p^2q^3$, wobei $ p$ und $ q$ verschiedene Primzahlen sind, dann gibt es eine Zwischenkörper $ Z$ mit $ \vert L:Z\vert = p^2 .$
       
Ist $ G \cong A_4$, dann gibt es genau einen Zwischenkörper $ Z$ mit $ \vert Z:K\vert = 3 .$

$ A_4$ bezeichnet die alternierende Gruppe vom Grad $ 4 .$

Aufgabe 7:

Markieren Sie das richtige Kästchen oder tragen Sie die gesuchte Zahl ein.

Polynom $ f \in \mathbb{Q}[x]$ Ordnung der Galoisgruppe $ G$ von $ f$ Ist $ G$ auflösbar ? Anzahl der normalen Zwischenkörper $ Z/\mathbb{Q} $
$ x^4 - 1 $ ja nein
$ x^5 - 4x + 2 $ ja nein
$ 1 + x + x^2 + x^3 + x^4 $ ja nein

Beachten Sie, dass alle, also nicht nur echte Zwischenkörper gezählt werden.

   
() automatisch erstellt am 11.8.2017