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Mathematik-Online-Kurs: Mathematische Grundlagen - Komplexe Zahlen

Betrag komplexer Zahlen


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Der Betrag einer komplexen Zahl $ z=x+\mathrm{i}y$ ist als

$\displaystyle \vert z\vert = \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{z\bar z}
$

definiert. Für $ z\in\mathbb{R}$ ist diese Definition konsistent mit der Definition der Betragsfunktion für reelle Zahlen und besitzt analoge Eigenschaften.

Die Positivität der Betragsfunktion ist offensichtlich und die Multiplikativität läßt sich mit Hilfe der Definition leicht nachrechnen.

Zum Beweis der Dreiecksungleichung quadriert man die Ungleichungskette und erhält nach Subtraktion von $ \vert z_1\vert^2 + \vert z_2\vert^2$

$\displaystyle -2\vert z_1\vert\vert z_2\vert \leq z_1 \bar z_2 + \bar z_1 z_2
\leq 2\vert z_1\vert\vert z_2\vert
\,.
$

Diese Ungleichungen sind äquivalent zu

$\displaystyle \mathrm{Re}(z_1 \bar z_2) \le \vert z_1\vert\vert z_2\vert
$

bzw. zu

$\displaystyle x_1x_2 + y_1y_2 \le
\sqrt{x_1^2+y_1^2} \sqrt{x_2^2+y_2^2}
\,.
$

Erneutes Quadrieren führt schließlich auf die Ungleichung

$\displaystyle 2x_1x_2y_1y_2 \leq x_1^2y_2^2 + x_2^2y_1^2
\,,
$

welche aufgrund der Nichtnegativität von $ (x_1y_2-x_2y_1)^2$ richtig ist.


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  automatisch erstellt am 5.5.2011