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Mathematik-Online-Kurs: Vektorrechnung - Quadratische Kurven

Ellipse

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Für die Punkte $ P=(x,y)$ auf einer Ellipse ist die Summe der Abstände zu zwei Brennpunkten $ F_{\pm}$ konstant:

$\displaystyle \vert\overrightarrow{PF_-}\vert + \vert\overrightarrow{PF_+}\vert = 2 a $

mit $ 2a>\vert\overrightarrow{F_-F_+}\vert$ .

\includegraphics[width=12.4cm]{a_ellipse}

Ist $ F_{\pm}=(\pm f,0)$ , so gilt für die Koordinaten

$\displaystyle \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1,\quad b^2 = a^2 - f^2\, , $

und

$\displaystyle r^2 = \frac{b^2}{1-(f/a)^2\cos^2 \varphi} $

für die Polarkoordinaten der Punkte $ P$ .

Eine Parametrisierung der Ellipse ist

$\displaystyle x=a\cos t,\quad y=b\sin t $

mit $ t\in [0,2\pi)$ .
Die Äquivalenz der Darstellungen kann man durch direktes Nachrechnen überprüfen.

Um zu zeigen, dass

$\displaystyle \vert\overrightarrow{PF_-}\vert + \vert\overrightarrow{PF_+}\vert... ...d {\displaystyle{\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1}},\quad b^2 = a^2 - f^2 $

quadriert man

$\displaystyle \underbrace{2a - \sqrt{(x+f)^2 + y^2}}_{> 0} = \sqrt{(x-f)^2 + y^2} $

und erhält die zur linken Gleichung äquivalente Beziehung

$\displaystyle \underbrace{4a^2 + 4xf}_{>0} = 4a \sqrt{(x+f)^2 + y^2}\, . $

Erneutes Quadrieren nach Division durch $ 4a$ liefert

$\displaystyle a^2 + 2xf + \frac{f^2}{a^2} x^2 = x^2 + 2xf + f^2 + y^2\, . $

Mit Substitution von $ f^2 = a^2-b^2$ ergibt sich nach Umformung die Koordinatenform.

Zur Herleitung der Polarform

$\displaystyle r^2 = \frac{b^2}{1-(f/a)^2\cos^2 \varphi} $

multipliziert man mit dem Nenner und berücksichtigt

$\displaystyle x^2 = (x^2 + y^2)\cos^2(\varphi)\, . $

Damit folgt

$\displaystyle x^2 + y^2 - \frac{a^2-b^2}{a^2} x^2 = b^2 $

und Division durch $ b^2$ ergibt die Koordinatenform.

(Autoren: App/Höllig )
Bei einer Ellipse werden Brennpunktstrahlen in Brennpunktstrahlen reflektiert.

\includegraphics[ width=10.4cm ]{b_brennpunktstrahlen}

Zum Beweis wählt man als Hilfspunkte das Spiegelbild $ R$ des Brennpunkts $ F_+$ an der Tangente $ g$ und einen beliebigen Punkt $ Q\ne P$ auf $ g$ . Da $ Q$ außerhalb der Ellipse liegt, ist

$\displaystyle 2a = \vert\overrightarrow{PF_-}\vert + \vert\overrightarrow{PF_+}\vert < \vert\overrightarrow{QF_-}\vert + \vert\overrightarrow{QF_+}\vert\, . $

Ersetzt man die Strecken $ \overline{PF_+}$ und $ \overline{QF_+}$ durch ihre Spiegelbilder, so erhält man

$\displaystyle \vert\overrightarrow{PF_-}\vert + \vert\overrightarrow{PR}\vert < \vert\overrightarrow{QF_-}\vert + \vert\overrightarrow{QR}\vert\, , $

und folglich müssen $ F_-$ , $ P$ , $ R$ auf einer Geraden liegen. Damit ist $ \sphericalangle(F_-PQ)=\alpha$ .

Diese Spiegelungseigenschaft wird bei der Zertrümmerung von Nierensteinen ausgenutzt. Die Strahlen aus einer radialen Quelle im Brennpunkt $ F_-$ können durch einen elliptischen Reflektor im Brennpunkt $ F_+$ gebündelt werden.

(Autoren: App/Höllig )
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  automatisch erstellt am 17.3.2011