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Mathematik-Online-Kurs: Vektorrechnung - Quadratische Kurven

Parabel

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Die Punkte $ P=(x,y)$ auf einer Parabel haben von einem Brennpunkt $ F$ und einer Leitgerade $ g$ den gleichen Abstand.

\includegraphics[ width=12.4cm ]{a_parabel}

Ist $ F=(0,f)$ und $ g:\,y=-f$ , so gilt für die Koordinaten

$\displaystyle 4f y = x^2 $

und

$\displaystyle r = \frac{4f\sin \varphi}{\cos^2 \varphi} $

für die Polarkoordinaten der Punkte $ P$ .

Die Äquivalenz der Darstellungen ist offensichtlich. Durch Gleichsetzen der quadrierten Abstände,

$\displaystyle \vert\overrightarrow{PF}\vert^2 = x^2 + (y-f)^2 = (y+f)^2 = \left(\text{dist}(P,g)\right)^2 $

erhält man die Koordinatenform. Substitution von

$\displaystyle x = r\cos \varphi,\quad y = r\sin \varphi $

führt auf die Polarform.
(Autoren: App/Höllig )
Bei einer Parabel werden parallele, senkrecht zur Leitgerade einfallende Strahlen im Brennpunkt gebündelt. Dies wird bei Satellitenschüsseln und Teleskopen ausgenutzt, um einfallende Signale zu verstärken.

\includegraphics[ width=12.4cm ]{b_satellitentv}

Zum Beweis bemerkt man, dass

$\displaystyle \overrightarrow{FP} + \overrightarrow{QP} = \left(\left(\begin{ar... ...\\ -f\end{array}\right)\right)= \left(\begin{array}{c}x\\ 2y\end{array}\right) $

parallel zur Richtung der Tangente im Punkt $ P$ ,

$\displaystyle \left(\begin{array}{c}1\\ x/(2f)\end{array}\right)\, , $

ist. Da

$\displaystyle \vert\overrightarrow{FP}\vert = \vert\overrightarrow{QP}\vert\, , $

folgt daraus die Gleichheit der Winkel $ \sphericalangle(F,P,R)$ und $ \sphericalangle(R,P,Q)$ , wobei $ R$ den Schnittpunkt der Tangente mit $ g$ bezeichnet.
(Autoren: App/Höllig )
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  automatisch erstellt am 17.3.2011