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Mathematik-Online-Kurs: Vektorrechnung - Quadratische Kurven

Hyperbel

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Für die Punkte $ P=(x,y)$ auf einer Hyperbel ist die Differenz der Abstände zu zwei Brennpunkten $ F_{\pm}$ konstant:

$\displaystyle \vert\overrightarrow{PF_-}\vert - \vert\overrightarrow{PF_+}\vert = \pm 2 a $

mit $ 2a<\vert\overrightarrow{F_-F_+}\vert$ .

\includegraphics[ width=8.4cm ]{a_hyperbel}

Ist $ F_{\pm}=(\pm f,0)$ , so gilt für die Koordinaten

$\displaystyle \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1,\quad b^2 = f^2 - a^2\, , $

und

$\displaystyle r^2 = -\frac{b^2}{1-(f/a)^2\cos^2\varphi} $

für die Polarkoordinaten der Punkte $ P$ . Die Asymptoten haben die Steigung $ \pm b/a$ .

Parametrisierungen der Hyperbeläste sind

$\displaystyle x=\pm a \cosh t,\quad y=b\sinh t $

mit $ t\in\mathbb{R}$ .

Die Äquivalenz der Darstellungen kann man durch direktes Nachrechnen überprüfen.

Um zu zeigen, dass

$\displaystyle \vert\overrightarrow{PF_-}\vert - \vert\overrightarrow{PF_+}\vert... ...{\displaystyle{\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1}},\quad b^2 = f^2 - a^2\,,$

quadriert man

$\displaystyle \underbrace{\sqrt{(x+f)^2 + y^2}\pm 2a}_{> 0} = \sqrt{(x-f)^2 + y^2} $

und erhält die zur linken Gleichung äquivalente Beziehung

$\displaystyle \underbrace{4a^2 + 4xf}_{>0} = \pm 4a \sqrt{(x+f)^2 + y^2}\, . $

Erneutes Quadrieren nach Division durch $ 4a$ liefert

$\displaystyle a^2 + 2xf + \frac{f^2}{a^2} x^2 = x^2 + 2xf + f^2 + y^2\, . $

Mit Substitution von $ f^2 = a^2+b^2$ ergibt sich nach Umformung die Koordinatenform.

Zur Herleitung der Polarform

$\displaystyle r^2 = -\frac{b^2}{1-(f/a)^2\cos^2 \varphi } $

multipliziert man mit dem Nenner und berücksichtigt

$\displaystyle x^2 = (x^2 + y^2)\cos^2 \varphi\, . $

Damit folgt

$\displaystyle x^2 + y^2 - \frac{a^2+b^2}{a^2} x^2 = -b^2 $

und Division durch $ -b^2$ ergibt die Koordinatenform.

(Autoren: App/Höllig )
Zur Bestimmung der Position $ P$ eines Schiffes werden die Zeitdifferenzen $ 2 a_{j,k}$ beim Empfang von synchronen Radiosignalen von verschiedenen Sendestationen $ F_i$ verglichen. So lässt sich $ P$ als Schnittpunkt der Hyperbeln mit Brennpunkten $ F_j$, $ F_k$ bestimmen.

\includegraphics[ width=9cm ]{b_navigation}

Als konkretes Beispiel wird

$\displaystyle F_1 = (-2,0),\, F_2 = (2,0),\quad F_3 = (0,-3),\, F_4 = (0,3) $

und $ a_{1,2} = a_{3,4} = 1$ gewählt. Die entsprechenden Hyperbelgleichungen sind

$\displaystyle x^2 - \frac{y^2}{3} = 1,\qquad\quad y^2 - \frac{x^2}{8} = 1\, , $

und man erhält

$\displaystyle x^2 = \frac{32}{23},\quad y^2 = \frac{27}{23} $

für die Koordinaten der möglichen $ 4$ Schnittpunkte $ S_i$.

Wie auch aus der Abbildung ersichtlich ist, existieren vier Lösungen. Bei der Navigation ist dies unproblematisch, da ein Kapitän wissen sollte, wo sich sein Schiff ungefähr befindet, d.h. welches die relevante Lösung ist.

(Autoren: App/Höllig )
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  automatisch erstellt am 17.3.2011