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Mathematik-Online-Kurs: Repetitorium HM I - Zahlen

Ungleichungen

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Folgende Ungleichungen finden häufig Anwendung.

Bernoullische Ungleichung.

Sei $ \mbox{$n$}$ eine natürliche Zahl. Für $ \mbox{$x\geq -1$}$ reell ist

$ \mbox{$\displaystyle (1+x)^n \; \geq \; 1 + nx\; , $}$
wobei für $ \mbox{$n\geq 2$}$ die Gleichheit nur bei $ \mbox{$x = 0$}$ eintritt.

Geometrisch-arithmetische Ungleichung.

Seien $ \mbox{$x_1,\dots,x_n > 0$}$ reell. Es ist deren geometrisches Mittel kleiner oder gleich deren arithmetischem Mittel,

$ \mbox{$\displaystyle (x_1\cdot x_2\cdots x_n)^{1/n}\; \leq \; (x_1 + x_2 + \cdots + x_n)/n\; . $}$

Höldersche Ungleichung. Cauchy-Schwarzsche Ungleichung.

Seien $ \mbox{$p,q > 0$}$ mit $ \mbox{$\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1$}$ gegeben. Seien $ \mbox{$x_1,\dots,x_n\in\mathbb{R}$}$ und $ \mbox{$y_1,\dots,y_n\in\mathbb{R}$}$.

Es gilt die Höldersche Ungleichung

$ \mbox{$\displaystyle \sum_{i = 1}^n \vert x_i y_i\vert \;\leq\; \left(\sum_{... ...t^p\right)^{\! 1/p}\left(\sum_{i = 1}^n \vert y_i\vert^q\right)^{\! 1/q}\; . $}$
Setzt man $ \mbox{$p = 2$}$ und $ \mbox{$q = 2$}$, so folgt die Cauchy-Schwarzsche Ungleichung
$ \mbox{$\displaystyle \sum_{i = 1}^n \vert x_i y_i\vert \;\leq\; \left(\sum_{... ...t^2\right)^{\! 1/2}\left(\sum_{i = 1}^n \vert y_i\vert^2\right)^{\! 1/2}\; . $}$

Minkowskische Ungleichung. Dreiecksungleichung.

Sei $ \mbox{$p > 0$}$ gegeben. Seien $ \mbox{$x_1,\dots,x_n\in\mathbb{R}$}$ und $ \mbox{$y_1,\dots,y_n\in\mathbb{R}$}$.

Es gilt die Minkowskische Ungleichung

$ \mbox{$\displaystyle \left(\sum_{i = 1}^n \vert x_i + y_i\vert^p\right)^{\! 1... ...\right)^{\! 1/p} + \left(\sum_{i = 1}^n \vert y_i\vert^p\right)^{\! 1/p}\; . $}$
Setzt man $ \mbox{$p = 2$}$, so folgt die Dreiecksungleichung
$ \mbox{$\displaystyle \left(\sum_{i = 1}^n \vert x_i + y_i\vert^2\right)^{\! 1... ...\right)^{\! 1/2} + \left(\sum_{i = 1}^n \vert y_i\vert^2\right)^{\! 1/2}\; . $}$
(Autoren: Künzer/Martin/Nebe)

Beispiele

Aufgaben

  automatisch erstellt am 18.6.2004