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Mathematik-Online-Kurs: Gruppentheorie - Lie-Algebren - Dynkin-Diagramme und einfache Lie-Algebren

Cartan-Matrizen und Dynkin-Diagramme

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Die Matrix

$\displaystyle C:=\left(c_{ij}\right)_{1\leq i,j\leq n},~c_{ij}:=\alpha_i\left(h_j\right)$

heißt Cartan-Matrix von $ \cal L$ bzgl. der Basis $ \alpha_i,...,\alpha_n$ von $ R\left({\cal L},{\cal H}\right)$ .
Es gilt also $ c_{ii}=2$ für $ 1\leq i\leq n$ , $ c_{ij}\in -\mathbb{N}_0$ , $ c_{ij}=0\Rightarrow c_{ji}=0$ für $ 1\leq i\neq j\leq n$ . Eine halbeinfache, komplexe Lie-Algebra ist durch ihre Cartan-Matrix (bis auf Isomorphie) eindeutig bestimmt; oder anders ausgedrückt: nicht-isomorphe Lie-Algebren der genannten Art habe verschiedene Cartan-Matrizen.
(Autor: Hablizel)
Eine einprägsame Methode den Isomorphietyp einer halbeinfachen, komplexen Lie-Algebra zu beschreiben, besteht darin, dem Wurzelsystem ein Diagramm zuzuordnen, was folgendermaßen geschieht:
Den Elementen $ \alpha_1,...,\alpha_r$ einer Basis eines Wurzelsystems ordnet man bijektiv $ r$ Punkte der Ebene zu, die ebenfalls mit $ \alpha_1,...,\alpha_r$ bezeichnet werden. Man verbindet sodann $ \alpha_i$ mit $ \alpha_j~(i\neq j)$ durch $ c_{ij}c_{ji}$-Linien (die durch kein $ \alpha_k$ gehen für $ k\neq i,j$).
Falls $ c_{ij}\neq c_{ji}$ ist, werden die Verbindungslinien von $ \alpha_i,\alpha_j$ mit einer Pfeilspitze versehen, und zwar in die Richtung auf $ \alpha_j$, wenn $ c_{ij}<c_{ji}$ ist.
Der so entstandene Graph heißt Dynkin-Diagramm der Lie-Algebra. Wie für Cartan-Matrizen gilt auch für Dynkin-Diagramme, dass diese die Lie-Algebra bis aus Isomorphie eindeutig bestimmen (insbesondere hängen beide nicht von der gewählten Cartan-Algebra und nicht von der gewählten Basis des Wurzelsystems ab).

Die Klassifikation, d.h. die Bestimmung der Isomorphietypen der einfachen komplexen Lie-Algebren (endlicher Dimension), führt man gewöhnlich in der Weise durch, dass man die Dynkin-Diagramme abstrakter Wurzelsysteme bestimmt und zu jedem so erhaltenen Diagramm eine einfache komplexe Lie-Algebra angibt, deren Dynkin-Diagramm mit dem gegebenen übereinstimmt. Führt man dies aus, so erhält man die unten angegebenen Typen. $ A_n,B_n,C_n$ und $ D_n$ bezeichnen den Isomorphietyp der Lie-Algebren, wobei $ n$ den Rang der entsprechenden Lie-Algebra bezeichnet, d.h. die Dimension einer (und damit jeder) Cartanschen Teilalgebra. Man kann zeigen, dass Lie-Algebren vom Typ $ X_n,Y_m$ genau dann isomorph sind, wenn $ X=Y$ und $ n=m$ gilt $ \left(X,Y\in\{A,B,C,D\}\right)$ (mit Ausnahme von $ B_2=C_2$). Außer den vier klassischen Typen, erhält man fünf Ausnahmetypen $ \left(E_6,E_7,E_8,F_4\mbox{ und }G_2\right)$.
$ n$ gibt im Folgenden jeweils die Anzahl der Punkte an:

$ A_n~(n\geq 1)$:
\fbox{\includegraphics[scale=.5]{dynkin_a.eps}}
$ B_n~(n\geq 2)$:
\fbox{\includegraphics[scale=.5]{dynkin_b.eps}}
$ C_n~(n\geq 2)$:
\fbox{\includegraphics[scale=.5]{dynkin_c.eps}}
$ D_n~(n\geq 4)$:
\fbox{\includegraphics[scale=.5]{dynkin_d.eps}}
$ E_6$:
\fbox{\includegraphics[scale=.5]{dynkin_e6.eps}}
$ E_7$:
\fbox{\includegraphics[scale=.5]{dynkin_e7.eps}}
$ E_8$:
\fbox{\includegraphics[scale=.5]{dynkin_e8.eps}}
$ F_4$:
\fbox{\includegraphics[scale=.5]{dynkin_f4.eps}}
$ G_2$:
\fbox{\includegraphics[scale=.5]{dynkin_g2.eps}}
(Autor: Hablizel)
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  automatisch erstellt am 14.11.2008