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Mathematik-Online-Kurs: Gruppentheorie - Lie-Algebren - Dynkin-Diagramme und einfache Lie-Algebren

(Weg-)Zusammenhang

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Es sei $ \mathbb{K}=\mathbb{R}$ oder $ \mathbb{C}$ und $ \cal M$ eine nicht-leere Teilmenge von $ \operatorname{Mat}(n,\mathbb{K})$ . Ein Weg in $ \cal M$ ist eine stetige Abbildung $ \gamma:\left[0,1\right]\rightarrow{\cal M}$ . Man nennt $ \gamma(0)$ den Anfangspunkt und $ \gamma(1)$ den Endpunkt von $ \gamma$ . Sind $ X,Y\in{\cal M}$ , so heißt $ X$ mit $ Y$ verbindbar, wenn es einen Weg $ \gamma$ in $ \cal M$ gibt mit Anfangspunkt $ X$ und Endpunkt $ Y$ .
Für $ X,Y\in{\cal M}$ sei

$\displaystyle X\sim Y:\Leftrightarrow X$ ist mit $\displaystyle Y$ in $\displaystyle {\cal M}$ verbindbar.

$ \sim$ ist eine Äquivalenzrelation; die Äquivalenzklassen heißen Zusammenhangskomponenten von $ \cal M$ .
$ \cal M$ heißt zusammenhängend, wenn es nur eine einzige Zusammenhangskomponente gibt. Es folgt, dass $ \cal M$ genau dann zusammenhängend ist, wenn es ein $ X\in{\cal M}$ gibt, dass mit jedem Element von $ \cal M$ verbindbar ist.
(Autor: Hablizel)
$ \operatorname{SL}(n,\mathbb{R}),\operatorname{SL}(n,\mathbb{C})$ und $ \operatorname{GL}(n,\mathbb{C})$ sind zusammenhängend.

$ \operatorname{GL}(n,\mathbb{R})$ ist nicht zusammenhängend: Die Zusammenhangskomponenten sind

$\displaystyle \operatorname{GL}^+(n,\mathbb{R}):=\left\{A\in\operatorname{GL}(n,\mathbb{R}):\det(A)>0\right\}$ und

$\displaystyle \operatorname{GL}^-(n,\mathbb{R}):=\left\{A\in\operatorname{GL}(n,\mathbb{R}):\det(A)<0\right\}.$

(Autor: Hablizel )
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  automatisch erstellt am 14.11.2008