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Mathematik-Online-Kurs: LAAG Prüfungsvorbereitung (math./phys.) - Quadriken

Ausgewählte Aufgaben

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Bestimmen Sie für die Quadrik

$\displaystyle Q:\, 48x_1^2-33x_2^2-15x_3^2-120x_1x_2+48x_1x_3+48x_2x_3+434x_1-1504x_2+718x_3 = 1341 $

a)
die Matrixform $ x^{\operatorname t}Ax+2a^{\operatorname t}x+c=0$
b)
die Normalform
c)
den Typ.

Antwort:

a)
$ A= \left(\rule{0pt}{6ex}\right.$
$ \left.\rule{0pt}{6ex}\right)$,
$ a= \left(\rule{0pt}{6ex}\right.$
$ \left.\rule{0pt}{6ex}\right)$,
$ c=$


b)
$ \displaystyle\frac{x_1^2}{a_1^2}+\frac{x_2^2}{a_2^2}=0$              $ \displaystyle\frac{x_1^2}{a_1^2}-\frac{x_2^2}{a_2^2}=0$              $ \displaystyle\frac{x_1^2}{a_1^2}+\frac{x_2^2}{a_2^2}+1=0$
$ \displaystyle\frac{x_1^2}{a_1^2}-\frac{x_2^2}{a_2^2}+1=0$              $ \displaystyle-\frac{x_1^2}{a_1^2}-\frac{x_2^2}{a_2^2}+1=0$              $ \displaystyle\frac{x_1^2}{a_1^2}-\frac{x_2^2}{a_2^2}+2x_3=0$

$ 1/a_1=$         $ 1/a_2=$     (positive Werte angeben)

c)
kegelige Quadrik          Mittelpunktsquadrik          parabolische Quadrik

   
(Autor: Andreas App)
Bestimmen Sie für die Quadrik

$\displaystyle Q:\, 11x_{1}^{2}-2x_{2}^{2}+5x_{3}^{2}+12x_{1}x_{2}+12x_{2}x_{3}+ 78x_{1}+32x_{2}+12x_3 + 133 =0 $

a)
die Matrixform $ x^{\operatorname t}Ax+2a^{\operatorname t}x+c=0$
b)
die euklidische Normalform
c)
den Typ.

Antwort:

a)
$ A= \left(\rule{0pt}{8ex}\right.$
$ \left.\rule{0pt}{8ex}\right)$ , $ a= \left(\rule{0pt}{8ex}\right.$
$ \left.\rule{0pt}{8ex}\right)$ , $ c=$  
b)
$ z_1^2$ $ +$ $ z_2^2$ $ +$ $ z_3^2=0$
c)
Ellipsoid                      einschaliges Hyperboloid                      Kegel         
Zeppelin                      hyperbolisches Paraboloid                         


   

(Autor: Martin Hertweck)

Geben Sie eine Formel für den Abstand eines Punktes $ P$ von der Geraden $ G:\ t\vec{d}$ , $ t\in\mathbb{R}$ , $ \vec{d}=(1,1,1)^{\operatorname t}$ an und beschreiben Sie den Zylinder mit Achse $ g$ und Radius 1 durch eine Gleichung $ f(x,y,x) = 0$ . Geben Sie ebenfalls eine Gleichung für die Quadrik an, die durch Schnitt mit der $ x,y$ -Ebene entsteht. Bestimmen Sie deren Typ und die Richtungen der Hauptachsen.

Antwort:
Abstandsformel:
$ \vert\vec{d}-\vec{p}\vert$ ,      $ \displaystyle \sqrt{\vert\vec{p}\vert^2 -\frac{\vec{p}\cdot\vec{d}} {\vert\vec{d}\vert^2}}$ ,     $ \displaystyle \vert\vec{p}\vert^2 -\left(\frac{2} {\vert\vec{d}\vert^2}+1\right) \vec{p}\cdot\vec{d}$ .

Die Darstellung des Zylinders lautet
$ f(x,y,z)=$ $ x^2$ + $ y^2$ + $ z^2$    
  + $ xy$ + $ xz$ + $ yz$ + $ \,xyz$  
  + $ x$ + $ y$ + $ z$ $ -\ 3$ $ =0$

Die Quadrik, die durch den Schnitt mit der $ x,y$ -Ebene entsteht, lautet
$ f(x,y,z)=$ $ x^2$ + $ y^2$ + $ z^2$    
  + $ xy$ + $ xz$ + $ yz$ + $ \,xyz$  
  + $ x$ + $ y$ + $ z$ $ -\ 3$ $ =0$ ,

dabei handelt es sich um
Ellipse , Parabel , Hyperbel , schneidende Geraden
Die normierte Hauptachsenrichtung, bei der beide Komponenten positiv sind, lautet
$ \displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}\big($ , $ \big)^{\operatorname t},$
die andere (mit positiver erster Komponente)
$ \displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}\big($ , $ \big)^{\operatorname t}.$


   

(K. Höllig, HM-Prüfungsaufgabe Frühjahr 1998)
Ein Kegel mit der Spitze $ S=(-4,0,3)$ schneidet die $ xy$-Ebene in der Ellipse

$\displaystyle E:\, 4x^2-40x+8y^2=125\,. $

\includegraphics[width=10cm]{g96_bild1}
Bestimmen Sie die Gleichungsdarstellung dieses Kegels.

Antwort:
$ 4x^2+$ $ y^2+$ $ z^2+$ $ xy+$ $ xz+$ $ yz+$ $ x+$ $ y+$ $ z=$
   

(Aus: HM II von Prof. Höllig, Sommersemester 2003)
#./interaufg323.tex#Bestimmen Sie für die Quadrik

$\displaystyle Q:\, 5x^2+4xy+8y^2=5\,. $

a)
den Typ
b)
die Hauptachsen
c)
die Punkte, in denen die Tangenten parallel zur $ x$-Achse sind.

Antwort:
a) Hyperbel         Ellipse         Parabel
b) normierte Eigenvektoren:
$ \displaystyle v_1=\frac{1}{\sqrt{5}}\left(\rule{0cm}{4ex}\right.$
$ 2$  
 
$ \left.\rule{0cm}{4ex}\right),\quad \displaystyle v_2=\frac{1}{\sqrt{5}}\left(\rule{0cm}{4ex}\right.$
 
$ 2$  
$ \left.\rule{0cm}{4ex}\right)$

c) $ P_1=\big($, $ \big)$     und      $ P_2=\big($, $ \big)$
(nach der ersten Komponente aufsteigend, auf drei Dezimalstellen gerundet)


   

(K. Höllig, HM-Prüfungsaufgabe Herbst 1998)
Bestimmen Sie die Hauptachsen und den Typ der Quadrik

$\displaystyle Q:\, x^2 +(\alpha-1)y^2 +(\alpha-1)z^2 -2(\alpha+1)yz +1 =0 $

in Abhängigkeit von dem Parameter $ \alpha \in \mathbb{R}$.

Antwort:

Geben Sie die Hauptachsen mit kleinstmöglichen nicht negativen ganzen Zahlen in den ersten beiden Komponenten und aufsteigend sortiert nach den Einträgen in der dritten Komponente an.
$ v_1$ = $ \left(\rule{0cm}{6ex}\right.$
$ \left.\rule{0cm}{6ex}\right)$ ,        $ v_2$ = $ \left(\rule{0cm}{6ex}\right.$
$ \left.\rule{0cm}{6ex}\right)$ ,        $ v_3$ = $ \left(\rule{0cm}{6ex}\right.$
$ \left.\rule{0cm}{6ex}\right)$



Für $ \alpha_0=$ ergibt sich folgender Typ:

$ \alpha < \alpha_0$: Ellipsoid         einschaliges Hyperboloid
  hyperbolischer Zylinder         zweischaliges Hyperboloid
$ \alpha = \alpha_0$: Ellipsoid         einschaliges Hyperboloid
  hyperbolischer Zylinder         zweischaliges Hyperboloid
$ \alpha > \alpha_0$: Ellipsoid         einschaliges Hyperboloid
  hyperbolischer Zylinder         zweischaliges Hyperboloid


   

(Autor: Marco Boßle)
Bestimmen Sie für die Quadrik

$\displaystyle Q:\, 5x^2 + 4xy + 2y^2 +\alpha z^2 + (\alpha-1)z = 0 $

in Abhängigkeit von einem reellen Parameter $ \alpha$
a)
die Marixform $ x^{\operatorname t}Ax + a^{\operatorname t}x + c = 0$
b)
die Normalform
c)
den Typ
d)
die Koordinaten des Ursprunges des transformierten Koordinatensystems relativ zum ursprünglichen in Abhängigkeit von $ \alpha$.
Skizzieren Sie die Quadriken für $ \alpha = -1$, $ \alpha = 0$ und $ \alpha = \displaystyle \frac{1}{4}$ im neuen Koordinatensystem.
Antwort:
a)
Für $ \alpha = 1$:

$ A = \left(\rule{0cm}{8ex}\right.$
$ \left)\rule{0cm}{8ex}\right.$,      $ a = \left(\rule{0cm}{8ex}\right.$
$ \left)\rule{0cm}{8ex}\right.$,      $ c= \ $ .            

b)
für $ \alpha = 0$:    $ u^2\, + $ $ v^2\, -\, z =$

für $ \alpha \neq 0$:
$ u^2\, + $ $ v^2\, +\, \Bigl( \alpha\, + $ $ \Bigr) w^2 = \,\Bigl($ $ \alpha\, -1\,\Bigr)^2 / \Bigl($ $ \alpha\, +$ $ \Bigr)$

c)
$ \alpha = 0$:   zweischaliges Hyperboloid Ellipsoid
parabolischer Zylinder elliptisches Paraboloid Punkt
$ \alpha = 1:$   zweischaliges Hyperboloid Ellipsoid
parabolischer Zylinder elliptisches Paraboloid Punkt
$ \alpha > 0 \; (\alpha \neq 1):$   zweischaliges Hyperboloid Ellipsoid
parabolischer Zylinder elliptisches Paraboloid Punkt
$ \alpha < 0:$   zweischaliges Hyperboloid Ellipsoid
parabolischer Zylinder elliptisches Paraboloid Punkt

d)
Für $ \alpha = $     bleibt der Koordinatenursprung unverändert, sonst liegt der Koordinatenursprung des transformierten Koordinatensystems bei

$ x = $         $ y = $          $ z = \Bigl( $ - $ \ \alpha \Bigr) / (2\alpha)$


   
(Kirchgässner HM-Prüfungsaufgabe Herbst 1997)
Betrachten Sie die von einem Parameter $ \alpha\in\mathbb{R}$ abhängige Quadrik

$\displaystyle Q_{\alpha}:\, 2x^{2}+\alpha z^{2}-2\sqrt{3}\,xy=0\,. $

a)
Für welche $ \alpha$ stellt die Quadrik einen Kreiskegel dar?
b)
Welche geometrischen Objekte entstehen durch Schnitt von $ Q_{3}$ mit den Ebenen
$ E_{1}:\, x=1$, $ E_{2}:\, y=1$ und $ E_{3}:z=1$?
Hinweis: Ein Kreiskegel besitzt die Normalform $ \lambda \tilde{x}^2+\lambda\tilde{y}^2=\varrho \tilde{z}^2$, $ \lambda, \varrho>0$.


Antwort:

a)
$ \alpha_1=$         $ \alpha_2=$          (aufsteigend sortiert, auf vier Dezimalstellen gerundet)

b)
$ E_1:$ leere Menge         Ellipse         Parabel         Hyperbel
$ E_2:$ Geradenpaar         Ellipse         Parabel         Gerade
$ E_3:$ leere Menge         Ellipse         Parabel         Hyperbel


   

(Aus: K. Höllig, Diplomvorprüfung HM I-III, Herbst 2004)
Bestimmen Sie Eigenwerte und Eigenvektoren der Matrix

$\displaystyle A=\begin{pmatrix}0&3\\ 3&8\end{pmatrix}$

sowie Typ und Normalform des Kegelschnitts

$\displaystyle Q:\ x^\mathrm{t}Ax=1\,.$

Antwort:
Eigenwerte: $ \lambda_1=$ $ \leq\,\lambda_2=$


Eigenvektoren: $ \left( \rule{0pt}{4ex}\right.$
$ \left. \rule{0pt}{4ex}\right)$,         $ \left( \rule{0pt}{4ex}\right.$
$ -\,$
$ \left. \rule{0pt}{4ex}\right)$
(kleinstmögliche natürliche Zahlen)

Typ: Parabel ,        Hyperbel ,        Ellipse

Normalform: $ 9z_1^2\, +$ $ z_2^2=$

   

(K. Höllig, HM-Prüfungsaufgabe Fruehling 2006)
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  automatisch erstellt am 14.4.2008