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Mathematik-Online-Kurs: LAAG Prüfungsvorbereitung (math./phys.) - Euklidischer Algorithmus

Test

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Aufgabe 1:
Welche der folgenden Sätze und Konstruktionen beruhen auf dem Euklidischen Algorithmus?
a)
Kleiner Satz von Fermat.
b)
Lemma von Bezout.
c)
Satz von Lagrange.
d)
Polynomdivision.
e)
Konstruktion des ggT zweier natürlicher Zahlen.
e)
Berechnung der Werte der Eulerschen $ \phi$-Funktion.

Antwort:

  wahr falsch
a)
b)
c)
d)
e)
f)
Aufgabe 2:
Bestimmen Sie für folgenden $ n,m\in R$ die Werte ggT$ (n,m)$ und kgV$ (n,m)$.

a)
$ R=\mathbb{Z}$, $ n=21$, $ m=56$.
b)
$ R=\mathbb{Z}$, $ n=256$, $ m=1730$.
c)
$ R=\mathbb{R}[x]$, $ n=x^2-2x+1$, $ m=x^2-x$.
d)
$ R=\mathbb{R}[x]$, $ n=x^2-2x-3$, $ m=x^3+4x^2+3x$.

Antwort:

Gegen sie die Werte ggT$ (n,m)$ und kgV$ (n,m)$ positiv, bzw. normiert an.
  ggT$ (n,m)$ kgV$ (n,m)$
a)
b)
c) $ x^2$ + $ x$ + $ x^4$+ $ x^3$ $ x^2$+ $ x$+
d) $ x^2$ + $ x$ + $ x^4$+ $ x^3$ $ x^2$+ $ x$+
Aufgabe 3:
Schreiben Sie die folgenden reellen Polynome $ p$ als $ p=f\cdot q +r$ mit einem Polynom $ r$ kleinsten Grades.

a)
$ p=x^3-2x+1$, $ q=x+1$.
b)
$ p=x^3-2x+1$, $ q=x^2+x$.
c)
$ p=x^4+3x^2+3$, $ q=x^2+2$.
d)
$ p=x^4+3x^2+3$, $ q=x^3+x-2$.

Antwort:

  $ f$ $ r$
a) $ x^2$ + $ x$ + $ x^2$ + $ x$ +
b) $ x^2$ + $ x$ + $ x^2$ + $ x$ +
c) $ x^2$ + $ x$ + $ x^2$ + $ x$ +
d) $ x^2$ + $ x$ + $ x^2$ + $ x$ +
   
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  automatisch erstellt am 14.4.2008