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Mathematik-Online-Kurs: LAAG Prüfungsvorbereitung (math./phys.) - Jordan-Form

Test

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Aufgabe 1:
Welche der folgenden Matrizen aus $ \mathbb{R}^{5\times 5}$ sind in Jordan-Normalform gegeben?

\begin{displaymath} {\bf a)} \ \left( \begin{array}{rrrrr} 1&0&0&0&0\\ 0&1&0&0... ...\ 0&0&2&0&0\\ 0&0&0&2&1\\ 0&0&0&0&2 \end {array}\right), \end{displaymath}

$\displaystyle {\bf d)} \ \left(\begin{array}{rrrrr} 2&1&0&0&0\\ 0&3&0&0&0\\ 0... ...&0&0&0\\ 0&2&0&0&0\\ 0&0&3&1&0\\ 0&0&0&3&1\\ 0&0&0&0&3 \end{array}\right) $

Antwort:

  JNF keine JNF
a)
b)
c)
d)
e)
Aufgabe 2:
Betrachten Sie die lineare Abbildung      $ f : \, \mathbb{R}^5 \longrightarrow \mathbb{R}^5$     via      $ x \mapsto \left(\begin {array}{ccccc} 2 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 0 & 0 \... ...0 & -2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & -2 \end{array} \right)x$ .

a)
Welche Dimension hat der zum Eigenwert $ 2$ gehörige Eigenraum $ \operatorname{Eig}_2$ der Abbildung $ f$?
b)
Welche Dimension hat der zum Eigenwert $ -2$ gehörige Eigenraum $ \operatorname{Eig}_{-2}$ der Abbildung $ f$?

Antwort:

c)
   dim$ \, (\operatorname{Eig}_2) =$
d)
   dim$ \, (\operatorname{Eig}_{-2}) = $
Aufgabe 3:
Eine lineare Abbildung $ \psi$ eines dreidimensionalen Vektorraums auf sich selbst habe $ 4$ als dreifachen Eigenwert; die Dimension des dazugehörigen Eigenraums $ \operatorname{Eig}_4$ ist 2.
Damit ist die Jordan-Normalform dieser Abbildung gegeben durch $ \left(\begin {array}{ccc} 4 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 1 \\ 0 & 0 & 4 \end{array} \right)$ .
Nun soll eine Basis des Vektorraums gefunden werden, bezüglich welcher diese Abbildung obige Jordangestalt annimmt. Wie müssen die Basisvektoren gewählt werden?

Aufgabe 4:
Es sei $ A \in \mathbb{C}^{n \times n}$ und $ J$ eine Jordan-Form von $ A$. Entscheiden Sie, ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind.
a)
Ist $ A$ diagonalisierbar, dann gibt es von $ A$ keine Jordan-Form.
b)
Die Anzahl der Jordanblöcke zu einem Eigenwert $ \lambda$ entspricht der Dimension des zu $ \lambda$ gehörenden Eigenraums.
c)
Besteht $ J$ aus genau einem Jordanblock, dann ist die algebraische Vielfachheit eines jeden Eigenwerts von $ A$ gleich seiner geometrischen Vielfachheit.
d)
Die geometrischen und algebraischen Vielfachheiten der Eigenwerte von $ A$ legen $ J$ fest - bis auf Permutation der Blöcke.
e)
Ist $ J$ auch Jordan-Form der Matrix $ B\in \mathbb{C}^{n \times n}$, dann gibt es eine invertierbare Matrix $ X$ mit $ X^{-1}AX=B$.
f)
Es sei $ T$ eine Matrix mit $ T^{-1}AT=J$. Vertauscht man zwei beliebige Spalten von $ T$, dann werden in $ J$ zwei Jordanblöcke vertauscht.

Antwort:

  wahr falsch
a)
b)
c)
d)
e)
f)
Aufgabe 5:
Ergänzen Sie die Matrizen $ A$ und $ B$ so, dass

Antwort:

$ A= \left(\rule{0pt}{9ex}\right.$
0 0
0 0
0 0
0 0 0
$ \left.\rule{0pt}{9ex}\right)$,      $ B= \left(\rule{0pt}{9ex}\right.$
0 0
0 0
0 0 0
0 0 0
$ \left.\rule{0pt}{9ex}\right)$
Aufgabe 6:
Bestimmen Sie die Jordan-Form $ J_A$ und $ J_B$ der Matrizen

$\displaystyle A= \left(\begin{array}{rccc} 3 & 1& 0 & 0 \\ -1 & 1 & 0 & 0 \\ 0& 0& 1& 2 \\ 0& 0&0 &3 \end{array}\right) \ $    und $\displaystyle \ B= \left(\begin{array}{rccc} 6 & 2& 0 & 0 \\ -2 & 2 & 0 & 0 \\ 0& 0& 1& 7 \\ 0& 0&0 &3 \end{array}\right) \,. $

Antwort:

Ordnen Sie die Jordanblöcke nach aufsteigenden Eigenwerten.
$ J_A= \left(\rule{0pt}{9ex}\right.$
0 0
0 0
0 0
0 0 0
$ \left.\rule{0pt}{9ex}\right)$,      $ J_B= \left(\rule{0pt}{9ex}\right.$
0 0
0 0
0 0
0 0 0
$ \left.\rule{0pt}{9ex}\right)$
   
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  automatisch erstellt am 14.4.2008