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Mathematik-Online-Kurs: LAAG Prüfungsvorbereitung (math./phys.) - Jordan-Form

Ausgewählte Aufgaben

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Berechnen Sie die Jordan-Normalform $ J$ der Matrix

\begin{displaymath} A=\left( \begin{array}{rrr} -1& 2& -1\\ -8&-10& 8\\ -15&-14& 13\\ \end{array}\right)\,. \end{displaymath}

Geben Sie dabei die Diagonaleinträge aufsteigend sortiert ein.

$ J= \left(\rule{0pt}{6ex}\right.$
0
0
0 0
$ \left.\rule{0pt}{6ex}\right)$

   

(Autor: Andreas App)
Gegeben sei die reelle Matrix

$\displaystyle A=\left(\begin{array}{rrr} -5 & 24 & 12 \\ -2 & 9 & 4 \\ 2 & -8 & -3 \end{array} \right). $

Geben Sie die Eigenwerte $ \lambda_{i}$ (mit algebraischer Vielfachheit) von $ A$ absteigend sortiert an:

$ \lambda_{1} = $ , $ \quad$ $ \lambda_{2} = $ , $ \quad$ $ \lambda_{3} = $ .

Die Jordansche Normalform $ J$ von $ A$ lautet:

$ J= \left(\rule{0pt}{8ex}\right.$
$ \lambda_{1}$ 0
0 $ \lambda_{2}$
0 0 $ \lambda_{3}$
$ \left.\rule{0pt}{8ex}\right)$ .

Bestimmen Sie eine Transformationsmatrix $ T$ mit $ T^{-1}AT=J$, so daß

Lösung:

$ T= \left(\rule{0pt}{8ex}\right.$
$ \left.\rule{0pt}{8ex}\right)$ .


   

(Autor: Martin Hertweck)
Gegeben sei die reelle Matrix

$\displaystyle A=\left(\begin{array}{rrr} 19 & -9 \\ 36 & -17 \end{array} \right). $

Die Matrix $ A$ hat einen zweifachen Eigenwert $ \lambda$ . Berechnen Sie diesen:

$ \lambda=$ .

Geben Sie die Jordansche Normalform $ J$ von $ A$ an:

$ J= \left(\rule{0pt}{5ex}\right.$
0
$ \left.\rule{0pt}{5ex}\right)$ .

Berechnen Sie einen Eigenvektor $ v$ von $ A$ zum Eigenwert $ \lambda$ . Berechnen Sie einen Vektor $ w$ mit $ (A-\lambda E)w=99v$ und setzen Sie $ T=(v,w)$ (eine $ 2\times 2$ Matrix mit $ v$ und $ w$ als Spaltenvektoren). Geben Sie $ T^{-1}AT$ an:

$ T^{-1}AT= \left(\rule{0pt}{5ex}\right.$
$ \left.\rule{0pt}{5ex}\right)$ .

Berechnen Sie eine reelle Matrix $ B$ für die $ B^{99}=A$ gilt:

$ B= \frac{1}{11} \left(\rule{0pt}{5ex}\right.$
$ \left.\rule{0pt}{5ex}\right)$ .


   

(Autor: Martin Hertweck)
Gegeben sei die reelle Matrix

$\displaystyle A=\left(\begin{array}{rrrr} 1 & 1 & 0 & 1 \\ 2 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{array} \right). $

a) Bestimmen Sie die Jordansche Normalform $ J$ von $ A$ . Beginnen Sie oben mit dem kleinsten Eigenwert:

$ J= \left(\rule{0pt}{10ex}\right.$
0 0
0 0
0 0
0 0 0
$ \left.\rule{0pt}{10ex}\right)$ .

Ergänzen Sie folgende Matrix $ T$ so, daß $ T^{-1}AT=J$ gilt:

$ T= \left(\rule{0pt}{10ex}\right.$
0 0
$ 3$ $ 3$
$ \left.\rule{0pt}{10ex}\right)$ .

b) Berechnen Sie die Inverse der Transformationsmatrix $ T$ :

$ T^{-1}= \frac{1}{54} \left(\rule{0pt}{10ex}\right.$
$ \left.\rule{0pt}{10ex}\right)$ .

Berechnen Sie (mit Hilfe der Darstellung $ A=TJT^{-1}$ ) die folgende Matrix:

$ \big(\frac{1}{3}\big)^{999}A^{1001}= \left(\rule{0pt}{10ex}\right.$
$ \left.\rule{0pt}{10ex}\right)$ .


   

(Autor: Martin Hertweck)
Gegeben sei die reelle Matrix

$\displaystyle A=\left(\begin{array}{rrrr} 2 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ -1 & 0 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \end{array} \right). $

Bestimmen Sie die Jordansche Normalform $ J$ von $ A$ . Beginnen Sie oben mit dem größten Jordan-Kästchen:

$ J= \left(\rule{0pt}{9ex}\right.$
0 0
0 0
0 0
0 0 0
$ \left.\rule{0pt}{9ex}\right)$ .

Wählen Sie in dem folgenden Matrixprodukt $ T$ für die noch offenen Einträge entweder $ 1$ oder $ -1$ , so daß $ T$ die Matrix $ A$ auf Normalform transformiert, also $ T^{-1}AT=J$ gilt:

$ T= \left(\rule{0pt}{10ex}\right.$
$ 1$ $ 1$ $ 1$ $ 1$
$ \left.\rule{0pt}{9ex}\right)$ $ \left(\rule{0pt}{9ex}\right.$
$ 8$ 0 0 0
0 $ 4$ 0 0
0 0 $ 2$ 0
0 0 0 $ 1$
$ \left.\rule{0pt}{10ex}\right)$ .


   

(Autor: Martin Hertweck)
Die reelle Matrix

$\displaystyle A=\left(\begin{array}{rrr} -1 & -1 & 0 \\ 2 & -3 & -1 \\ 0 & 2 & -5 \end{array} \right) $

besitzt einen ganzzahligen Eigenwert mit algebraischer Vielfachheit $ 3$. Bestimmen Sie diesen Eigenwert:

$ \lambda =$ .

Bestimmen Sie die Jordansche Normalform $ J$ von $ A$. Beginnen Sie oben mit dem größten Jordan-Kästchen:

$ J= \left(\rule{0pt}{8ex}\right.$
0
0
0 0
$ \left.\rule{0pt}{8ex}\right)$ .

Berechnen Sie eine symmetrische Matrix $ T$ mit möglichst kleinen nichtnegativen ganzzahligen Einträgen, so daß $ T^{-1}AT=J$ gilt:

$ T= \left(\rule{0pt}{8ex}\right.$
$ \left.\rule{0pt}{8ex}\right)$ .

Welche der folgenden Aussagen gilt für alle $ 3\times 3$ Matrizen $ A$ mit reellen Einträgen? Es bezeichne dabei $ J_{A}$ die Jordansche Normalform von $ A$.

keine Angabe
Es gibt eine symmetrische Matrix $ T$ mit $ T^{-1}AT=J_{A}$
Es gibt eine Matrix $ T$ mit reellen Einträgen und $ T^{-1}AT=J_{A}$
Es gibt eine unitäre Matrix $ T$ mit $ T^{-1}AT=J_{A}$
Es gibt eine quadratische Matrix $ T$ mit $ T^{-1}AT=J_{A}$


   

(Autor: Martin Hertweck)
Die reelle Matrix

$\displaystyle A=\left(\begin{array}{rrrr} 10 & -5 & 9 & 7 \\ 0 & 3 & 0 & -1 \\ -4 & 2 & -2 & -6 \\ 0 & 1 & 0 & 5 \end{array} \right) $

besitzt einen ganzzahligen Eigenwert $ \lambda$ mit algebraischer Vielfachheit $ 4$ . Bestimmen Sie diesen Eigenwert:

$ \lambda = $ .

Bestimmen Sie die Jordansche Normalform $ J$ von $ A$ . Beginnen Sie oben mit dem größten Jordan-Kästchen:

$ J= \left(\rule{0pt}{10ex}\right.$
0 0
0 0
0 0
0 0 0
$ \left.\rule{0pt}{10ex}\right)$ .

Ergänzen Sie bei den folgenden drei Vektoren $ v_{1}$ , $ v_{2}$ und $ v_{3}$ die noch fehlenden Einträge durch Elemente aus $ \{-2,-1,0,1,2\}$ so, daß sie Eigenvektoren von $ A$ sind:

$ v_{1}= \left(\rule{0pt}{10ex}\right.$
0
$ 1$
$ \left.\rule{0pt}{10ex}\right)$ , $ v_{2}= \left(\rule{0pt}{10ex}\right.$
$ 1$
$ \left.\rule{0pt}{10ex}\right)$ , $ v_{3}= \left(\rule{0pt}{10ex}\right.$
$ 2$
$ \left.\rule{0pt}{10ex}\right)$ .

Wählen Sie für die noch offenen Einträge in folgender Matrix $ T$ Elemente aus $ \{-2,-1,0,1,2\}$ so, daß $ T$ die Matrix $ A$ auf Normalform transformiert, also $ T^{-1}AT=J$ gilt:

$ T= \left(\rule{0pt}{10ex}\right.$
$ 2$ $ 2$ $ 2$
$ -2$ $ -2$
$ \left.\rule{0pt}{10ex}\right)$ .


   

(Autor: Martin Hertweck)
Gegeben sei die Matrix

$\displaystyle A=\left(\begin{array}{rrrr} -3 & 0 & 1 & 1 \\ -1 & -2 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & -2 & 0 \\ -1 & 0 & 1 & -1 \end{array}\right), $

die als einzigen Eigenwert $ \lambda=-2$ besitzt.
a)
Berechnen Sie
$ A+2E=\left(\rule{0ex}{7ex}\right.$
$ \left.\rule{0ex}{7ex}\right),\qquad(A+2E)^2=\left(\rule{0ex}{7ex}\right.$
$ \left.\rule{0ex}{7ex}\right)$
sowie
$ \operatorname{Rg}(A+2E) =$                  $ \operatorname{Rg}(A+2E)^2=$

b)
Die Jordan-Normalform von $ A$ lautet
$ J=\left(\rule{0ex}{7ex}\right.$
$ \left.\rule{0ex}{7ex}\right)$


   

(Aus: Scheinklausur HM III Kimmerle WS03/04)
Bestimmen Sie für die Matrix

\begin{displaymath}A=\left( \begin{array}{rrr} -2 & 4 & -4 \\ -1 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & 4 \end{array}\right) \end{displaymath}

die Determinante, den Rang, die unterschiedlichen Eigenwerte $ \lambda_1$, $ \lambda_2$ und je einen dazugehörigen Eigenvektor $ u_1$, $ u_2$ sowie die Jordan-Normalform.

Antwort:

$ \operatorname{det}A=$ , $ \operatorname{Rang}A=$
$ \lambda_1=$ $ <\quad\lambda_2=$
$ u_1=\left(\rule{0cm}{.5cm}\right.$ ,$ 1$, $ \left.\rule{0cm}{.5cm}\right)^{\operatorname t}$
$ u_2=\left(\rule{0cm}{.5cm}\right.$ ,$ 1$, $ \left.\rule{0cm}{.5cm}\right)^{\operatorname t}$
        
$ J=\left(\rule{0cm}{1.5cm}\right.$
0
0
0 0
$ \left.\rule{0cm}{1.5cm}\right)$
(Blöcke in der Jordan-Form aufsteigend sortiert nach den zugehörigen Eigenwerten)
  
[Andere Variante]
(Aus: Scheinklausur HM2 Höllig SS05)
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  automatisch erstellt am 14.4.2008