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Mathematik-Online-Kurs: Prüfungsvorbereitung HM 1/2 SS08 - Lösungen zur Probeklausur 1

Aufgabe 6

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Gegeben ist die Matirx $ A(t)= \left( \begin{array}{rrr} -1& 2 &-1 \\ 5 &-6& 4 \\ -3& 1& t \end{array} \right)$ mit $ t\in \mathbb{R}$

a)
Geben Sie die Menge aller $ t\in \mathbb{R}$ an, für die das Gleichungssystem

$ A(t) \left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right) $ unendlich viele Lösungen hat.

b)
Lösen Sie für $ t = -5$ das Gleichungssystem

$ A(-5) \left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 4 \\ -10 \\ -7 \end{array} \right) $

Antwort:

a)
$ t \in$
$ \left\{ \rule{0pt}{2ex}\right.$
$ /$
$ \left. \rule{0pt}{2ex}\right\}$

(gekürzt, Nenner positiv)
b)
$ \left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2\\ x_3 \end{array} \right) =$ $ \left( \rule{0pt}{6ex}\right.$
$ \left. \rule{0pt}{6ex}\right)$

  
[Andere Variante]

a)
Ein homogenes Gleichungssystem besitzt unendlich viele Lösungen, wenn $ \det(A(t)) = 0 $ gilt.

$ \det(A(t)) = -1(-6t-4)-2(5t+12)-1(5-18) = -4t-7 = 0 \Rightarrow t = -\frac{7}{4}$

b)

\begin{displaymath}\left( \begin{array}{rcr} -1 & 2 & -1 \\ 5 & -6 & 4 \\ -3 &... ... \left( \begin{array}{r} 4 \\ 10 \\ -19 \\ \end{array} \right)\end{displaymath}
\begin{displaymath}\Rightarrow \left( \begin{array}{rcr} -1 & 2 & -1 \\ 0 & 4 &... ...\left( \begin{array}{r} 4 \\ 10 \\ -39 \\ \end{array} \right) \end{displaymath}
Die dritte Zeile ergibt: $ -13x_2 = -39 \Rightarrow x_2 = 3$. Die zweite Zeile führt zu: $ x_3 = 4x_2-10 = 12-10 = 2$. Die erste Zeile ergibt: $ x_1 = 2x_2 - x_3 -4 = 6 -2 -4 = 0$.

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  automatisch erstellt am 14.7.2008