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Mathematik-Online-Kurs: Prüfungsvorbereitung HM 1/2 SS08 - Lösungen zur Probeklausur 1

Aufgabe 5

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Gegeben sind die Matrizen:

$\displaystyle A=\left( \begin{array}{rr} 7&2\\ -4&-5 \end{array} \right)\,,\qua... ...) \,,\quad C(t)=\left( \begin{array}{rr} 7&2 \\ -4&t-2 \end{array} \right) \,. $

a)
Berechnen Sie $ \mathrm{det}A=a$ und $ \mathrm{det}B=b$
b)
Berechnen Sie alle $ t\in \mathbb{R}$ so, dass $ \mathrm{det}C(t)=t^3$

Antwort:

a)
$ a= $         $ b=$
b)
$ t\in \Big\{$ , , $ \Big\}$ (aufsteigend sortiert)

  
[Andere Variante]
a)

$ \det(A) = 7(-5)-(-4) = -27$.

Mit Hilfe von Zeilenumformungen erhält man in der Diagonale der Matrix $ B$ folgende Blockmatrizen \begin{displaymath}A_1= \left( \begin{array}{rr} 1 & -1 \\ -1 & 2 \\ \end{arra... ...ghtarrow \ \det(B)= \det(A_1)\cdot \det(A_2)\cdot \det(A_3) = 2\end{displaymath}.

b)

$ \det C(t) = 7(t-2)+8=7t-6=t^3\Rightarrow t^3-7t+6=0$. $ t_1=1$ ist eine erste Nullstelle. Eine Polynomdivision führt zu: $ t^3-7t+6 = (t-1)(t^2+t-6)$. $ t_{2,3} = \frac{-1+\sqrt{1+24}}{2}$ sind weitere Nullstellen und damit gilt: $ t \in \{-3,1,2\}$.

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  automatisch erstellt am 14.7.2008