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Mathematik-Online-Kurs: Prüfungsvorbereitung HM 1/2 SS08 - Lösungen zur Probeklausur 2

Aufgabe 8

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Berechnen Sie zur Quadrik $ Q: \left\{ x\in \mathbb{R}^3 \vert x^tAx+2a^tx+c=0 \right\}$ mit

$ A= \left( \begin{array}{rrr} 1&0&2\\ 0&1&0\\ 2&0&2 \end{array} \right)$          $ a= \left( \begin{array}{r} 0\\ 1\\ 0 \end{array} \right)$          $ c=1$

den Rang $ r=\mathrm{Rang}(A)$ , $ r_{\mathrm{erw}}=\mathrm{Rang}(A_{\mathrm{erw}})$ und geben Sie an um welchen Quadriktyp es sich handelt.

Antwort:

$ r=$          $ r_{\mathrm{erw}}=$

keine Angabe

kegelige Quadrik

Mittelpunktsquadrik

parabolische Quadrik


  

[Andere Variante]

Die Matrix $ A=\begin{pmatrix}1&0&2\\ 0&1&0\\ 2&0&2\end{pmatrix}$ kann umgeformt werden zu $ \begin{pmatrix}1&0&2\\ 0&1&0\\ 0&0&-2\end{pmatrix}$.

Da sich der Rang bei elementaren Umformungen nicht verändert, gilt:

$\displaystyle r=\operatorname{Rang}\begin{pmatrix}1&0&2\\ 0&1&0\\ 2&0&2\end{pmatrix}=\operatorname{Rang}\begin{pmatrix}1&0&2\\ 0&1&0\\ 0&0&-2\end{pmatrix}=3$

Betrachte nun die erweiterte Matrix, die sich wie im Vorherigen bestimmen lässt:

$\displaystyle A_{\mathrm{erw}}=\begin{pmatrix}1&0&1&0\\ 0&1&0&2\\ 1&0&1&0\\ 0&2&0&2\end{pmatrix}$

Wie oben gilt nach elementaren Umformungen:

$\displaystyle r_{\mathrm{erw}}=\operatorname{Rang}\begin{pmatrix}1&0&1&0\\ 0&1&... ...rname{Rang}\begin{pmatrix}1&0&1&0\\ 0&1&0&2\\ 0&0&0&0\\ 0&0&0&-2\end{pmatrix}=3$

$ \rightarrow~ r$ stimmt mit $ r_{\mathrm{erw}}$ überein. Damit liegt eine kegelige Quadrik vor.
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  automatisch erstellt am 14.7.2008