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Mathematik-Online-Kurs: Prüfungsvorbereitung HM 1/2 SS08 - Lösungen zur Probeklausur 3

Aufgabe 2

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Markieren Sie, ob die gegebene Reihe konvergent oder divergent ist und geben Sie weiter ein Kriterium an, mit dessen Hilfe dies gezeigt werden kann. Markieren Sie nicht mehr als ein Kriterium, auch wenn mehrere zutreffend sind.

Die Auswahl ,,keines davon`` besagt, dass weder das Wurzel-, noch das Quotienten, noch das Leibniz-Kriterium eine Aussage liefert.


  konvergent divergent Wurzel-Kriterium Quotienten-Kriterium Leibniz-Kriterium keines davon
$ \displaystyle \sum \limits_{k=1}^{\infty} (-1)^k \dfrac{1}{(-2)^k}$
$ \displaystyle \sum \limits_{k=1}^{\infty} \dfrac{2+(-1)^k}{2^k}$
$ \displaystyle \sum \limits_{k=1}^{\infty} \dfrac{1}{3k-2}$

  

[Andere Variante]

Lösung: Wir bezeichnen die Reihensummanden jeweils mit $ a_k$.

a)
Quotientenkriterium:

$\displaystyle \lim_{k\rightarrow \infty} \frac{\left\vert a_{k+1}\right\vert}{\... ...ight\vert} = \lim_{k\rightarrow \infty} \frac{2^k}{2^{k+1}} = \frac{1}{2} < 1 $

Wurzelkriterium:

$\displaystyle \lim_{k\rightarrow \infty} \sqrt[k]{\left\vert a_k\right\vert} = \frac{1}{2} < 1 $

Die Reihe ist also konvergent.
b)
Wurzelkriterium:

$\displaystyle \lim_{k\rightarrow \infty} \sup \sqrt[k]{\left\vert a_k\right\ver... ...[k]{3/2^k} = \lim_{k\rightarrow \infty}\frac{\sqrt[k]{3}}{2} = \frac{1}{2} < 1 $

Die Reihe muss also konvergieren.
c)
Man kann leicht nachprüfen, dass sowohl das Wurzel- als auch das Quotienkriterium den Grenzwert 1 ergeben, sie führen also nicht zum Ziel. Eine Leibniz-Reihe liegt auch nicht vor. Das Abschätzen nach unten ergibt allerdings: $ a_k = 1/(3k-1) > 1/(3k)$.

Die Reihe $ \sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{3k} = \frac{1}{3}\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k}$ ist divergent $ \Rightarrow$ die gegebene Reihe ist auch divergent.

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  automatisch erstellt am 14.7.2008