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Mathematik-Online-Kurs: Prüfungsvorbereitung HM 1/2 SS08 - Lösungen zur Probeklausur 3

Aufgabe 4

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a)
Bestimmen Sie das Taylorpolynom dritten Grades von $ f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}: x \mapsto xe^{2x}$ um den Entwicklungspunkt $ x_0=0$ .

b)
Bestimmen Sie das Taylorpolynom zweiten Grades von $ f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}: x \mapsto \sin(x^2)$ um den Entwicklungspunkt $ x_0=\sqrt{\pi}$ .

Antwort:

a)
$ T_3(f,x,x_0)=$ + $ x$ + $ x^2$ + $ x^3$
b)
$ T_2(g,x,x_0)=$ + $ \sqrt{\pi}(x- \sqrt{\pi})$ + $ \cdot (x-\sqrt{\pi})^2$

  
[Andere Variante]

a)
Das Taylorpolynom von $ f(x) = xe^{2x}$ um den Entwicklungspunkt $ x_0 = 0$ ist zu bestimmen. Unter Verwendung der Taylorenwicklung von $ e^{2x}$ und Berücksichtigung der Glieder bis zur dritten Ordnung folgt:

$\displaystyle f(x) = x\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(2x)^n}{n!} \Rightarrow T_3(f,x,0) = x(1 + \frac{2x}{1!} + \frac{(2x)^2}{2!}) = x + 2x^2 + 2x^3 $

b)
$ T_2(g,x,x_0)$ wobei $ g(x) = \sin{(x^2)}$ und $ x_0 = \sqrt{\pi}$ ist zu ermitteln. Mit $ g{'}(x) = 2x\cos(x^2)$, $ g{''}(x)= 2\cos{(x^2)}-2x.2x\sin{(x^2)} = -4x^2\sin{(x^2)}+2\cos{(x^2)}$ folgt:

$\displaystyle T_2(g,x,x_0) = g(x_0) + g{'}(x_0)(x-x_0) + \frac{g{''}(x_0)}{2}(x-x_0)^2 = -2\sqrt{\pi}(x-\sqrt{\pi}) - (x-\sqrt{\pi})^2 $

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  automatisch erstellt am 14.7.2008