Mo Logo [Home] [Lexikon] [Aufgaben] [Tests] [Kurse] [Begleitmaterial] [Hinweise] [Mitwirkende] [Publikationen]
Mathematik-Online-Kurs: Prüfungsvorbereitung HM 1/2 SS08 - Lösungen zur Probeklausur 3

Aufgabe 5

[vorangehende Seite] [nachfolgende Seite] [Gesamtverzeichnis][Seitenübersicht]
Bestimmen Sie die ersten beiden Ableitungen der folgenden Funktionen.
a)
$ f_1: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}: x \mapsto 2x^3+3x-7$

b)
$ f_2: (-\infty,1) \rightarrow \mathbb{R}: x \mapsto \sqrt{1-x}$

c)
$ f_3: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}: x \mapsto 2^{x-1}$

d)
$ f_4: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}: x \mapsto \sinh(x^2)$

Antwort:

a)
$ f_1'(x)=$ $ x^2$ + $ x$ +

$ f_1''(x)=$ $ x$ +

b)
$ f_2'(x)=$ $ 1/$ $ (1-x)^a $

$ a= \big($ $ /2 \big)$

$ f_2''(x)=$ $ 1/$ $ (1-x)^b$

$ b= \big( $ $ /2 \big)$

c)
$ f_3'(x)=$ $ ^{x-1} \cdot \big( \ln$ $ \ \big)^c$

$ c= $

$ f_3''(x)=$ $ ^{x-1} \cdot \big( \ln$ $ \ \big)^d$

$ d= $

d)
$ f_4'(x)=$ $ \big($ + $ x$ + $ x^2 \big) \cdot \sinh(x^2)$ +$ \big($ + $ x$ + $ x^2 \big) \cdot \cosh(x^2)$

$ f_4''(x)=$ $ \big($ + $ x$ + $ x^2 \big) \cdot \sinh(x^2)$ +$ \big($ + $ x$ + $ x^2 \big) \cdot \cosh(x^2)$


  

[Andere Variante]

a)
Die Ableitung von $ g(x) = x^\alpha (\alpha \in \mathbb{R})$ ist $ g{'}(x) = \alpha x^{\alpha-1}$ und damit gilt:

$\displaystyle f_1{'}(x) = 23x^2+3=6x^2+3 ;\ f_2{''}(x) = 62x= 12x $

b)
Wegen $ f_2(x)=(1-x)^{\frac{1}{2}}$ folgt:

$\displaystyle f_2{'}(x)= \frac{1}{2}(-1)(1-x)^{-\frac{1}{2}}= -\frac{1}{2}(1-x)... ...c{1}{2}(-\frac{1}{2})(-1)(1-x)^{-\frac{3}{2}}=-\frac{1}{4}(1-x)^{-\frac{3}{2}} $

c)
Man kann $ f_3(x)$ in der Form $ f_3(x)=e^{(x-1)\ln{2}}$ darstellen und das führt zu:

$\displaystyle f_3{'}(x)=(\ln{2})e^{(x-1)\ln{2}}=2^{x-1}\ln{2};\ f_4{''}(x)=(2^{x-1}\ln{2})\ln{2}=2^{x-1}(\ln{2})^2 $

d)
Die Ketten- und Produktregeln führen zu:

$\displaystyle f_4{'}(x)=2x\cosh{x^2};\ f_4{''}(x)=2\cosh{x^2}+2x.2x\sinh{x^2}=4x^2\sinh{x^2}+2\cosh{x^2} $

[vorangehende Seite] [nachfolgende Seite] [Gesamtverzeichnis][Seitenübersicht]
  automatisch erstellt am 14.7.2008