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Mathematik-Online-Kurs: Prüfungsvorbereitung HM 1/2 SS08 - Lösungen zur Probeklausur 3

Aufgabe 7

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Führen Sie eine Kurvendiskussion der Funktion

$\displaystyle f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}: x \mapsto \frac14 \frac{x^3+x^2-2x}{x^2-3x+2} $

durch.

Antwort:

Geben Sie die Werte stets in aufsteigender Reihenfolge an und lassen Sie nicht benötigte Felder leer.

Definitionsbereich:

$ D= \mathbb{R} \setminus \big \{$ , , $ \big\}$ .

Nullstellen:

$ x \in \big \{$ , , $ \big\}$ .

Erste Ableitung:

$ f'(x)=$
$ x^2$ + $ x$ +
$ \cdot \big( x +$ $ \big) \ \hat{} \, $

Zweite Ableitung:

$ f''(x)=$
$ x^2$ + $ x$ +
$ \big( x +$ $ \big) \ \hat{} \, $
.

Tiefpunkt:

$ \big($ $ \sqrt{2}$ + , $ \sqrt{2}$ + / $ 2 \big)$

Hochpunkt:

$ \big($ $ \sqrt{2}$ + , $ \sqrt{2}$ + / $ 2 \big)$ .

senkrechte Asymptoten in:

$ x \in \big \{$ , , $ \big\}$

Stetig ergänzbar in:

$ x \in \big \{$ , , $ \big\}$

Skizze:

\includegraphics[width=8cm]{koordinatengitter-l-3}   \includegraphics[width=8cm]{koordinatengitter-l-4}
 
\includegraphics[width=8cm]{koordinatengitter-l-1}   \includegraphics[width=8cm]{koordinatengitter-l-2}
 

  
[Andere Variante]

a)
Um den Definitionsbereich zu bestimmen werden die Nullstellen des Nenners benötigt.

$\displaystyle x^2-3x+2=0\Rightarrow x_{1,2}=\frac{3\pm \sqrt{(-3)^2-8}}{2} \Rightarrow x_1=1\ und\ x_2=2 \Rightarrow D=\mathbb{R}\backslash \{1,2\} $

b)
Die Nullstellen von $ f$ sind die Nullstellen des Zählers aber nicht des Nenners.

$\displaystyle x^3+x^2-2x=x(x^2+x-2)=0\Rightarrow x_1=0; x_{2,3}=\frac{-1\pm \sqrt{1+8}}{2}\Rightarrow x_2=-2; x_3=1(keine) $

c)
Um die beiden ersten Ableitungen zu bestimmen wird $ f$ mit Hilfe einer Faktorisierung vereinfacht in der Form $ f(x)=\frac{1}{4}\frac{x(x+2)(x-1)}{(x-2)(x-1)}=\frac{1}{4}\frac{x^2+2x}{x-2}$ dargestellt.

$\displaystyle f{'}(x) = \frac{1}{4}\frac{(2x+2)(x-2)-1(x^2+2x)}{(x-2)^2}=\frac{1}{4}\frac{x^2-4x-4}{(x-2)^2} $

$\displaystyle f{''}(x) = \frac{1}{4}\frac{(2x-4)(x-2)^2-2(x-2)(x^2-4x-4)}{(x-2)^4} = \frac{4}{(x-2)^3} $

d)
Um die Hoch- und Tiefpunkte zu ermitteln werden die Nullstellen von $ f{'}(x)$ und eventuell $ f{''}(x)$ benötigt. Es gilt:

$\displaystyle f{'}(x) = 0 \Rightarrow x^2-4x-4 = 0 \Rightarrow x_1 = 2\sqrt{2}+2; x_2 = 2-2\sqrt{2} $

Wegen $ f{''}(x_1) > 0$ und $ f(x_1) = \sqrt{2}+3/2$ ist $ (2\sqrt{2}+2, \sqrt{2}+3/2)$ ein Tiefpunkt

$ (2-2\sqrt{2}, 3/2 - \sqrt{2})$ ist ein Hochpunkt wegen $ f{''}(x_2) < 0$ und $ f(x_2) = 3/2 - \sqrt{2}$

e)
Wegen $ \lim_{x\rightarrow 2\pm} = \mp \infty$ ist die Gerade $ x=2$ eine senkrechte Asymptote. $ f$ ist in $ x=1$ stetig ergänzbar wegen $ \lim_{x\rightarrow 1} = -7/4$
f)
Skizze:

\includegraphics[width=8cm]{koordinatengitter-l-1}

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  automatisch erstellt am 14.7.2008