Mo Logo [Home] [Lexikon] [Aufgaben] [Tests] [Kurse] [Begleitmaterial] [Hinweise] [Mitwirkende] [Publikationen]
Mathematik-Online-Kurs: Prüfungsvorbereitung HM 1/2 SS08 - Lösungen zur Probeklausur 4

Aufgabe 4

[vorangehende Seite] [nachfolgende Seite] [Gesamtverzeichnis][Seitenübersicht]

a)
Bestimmen Sie den Konvergenzradius $ \rho$ der reellen Potenzreihe $ \sum\limits_{k=0}^{\infty} (-4)^k x^k$

b)
Bestimmen Sie eine Stammfunktion $ F$ von

$\displaystyle f: (-\rho,\rho) \rightarrow \mathbb{R}: x \mapsto \sum_{k=0}^{\infty} (-4)^k x^k $

durch gliedweise Integration.

c)
Geben Sie $ f$ in geschlossener Form an.

d)
Berechnen Sie daraus erneut eine Stammfunktion $ \tilde{F}$ von $ f$.

Antwort:

a)
$ \rho = $

b)
$ F(x) = \sum\limits_{k=1}^{\infty} \frac{(a)^{k-1}}{k} x^k + c $ mit $ a=$

c)
$ f = \frac{1}{1+bx}$ mit $ b= $

d)
$ \tilde{F} = \frac 1 4 \ln{(1+dx)}+c$ mit $ d = $


  
[Andere Variante]

a)
Um den Konvergenzradius zu berechnen, betrachte man

$\displaystyle L=\limsup\sqrt[k]{\vert a_k\vert} = \limsup\sqrt[k]{\vert-4^k\vert} = \limsup\sqrt[k]{4^k} = 4$

Der Konvergenzradius ergibt sich nun folgendermaßen: (Cauchy-Hadamard)

$\displaystyle \rho = \frac{1}{L} = \frac{1}{4}$

b)
Da für $ x \in \mathbb{R}$ mit $ \vert x\vert < \frac{1}{4}$ eine gleichmäßig konvergente Reihe integrierbarer Funktionen vorliegt, kann gliedweise integriert werden. Somit gilt:

$\displaystyle \int \sum\limits_{k=0}^\infty (-4)^kx^k \mathrm dx = \sum\limits_... ... (-4)^kx^k \mathrm dx = \sum\limits_{k=0}^\infty \frac{(-4)^k}{k+1}x^{k+1} + c $

Nach einer Indexverschiebung erhält man letztendlich die Stammfunktion $ F$ von $ f$:

$\displaystyle \int \sum\limits_{k=0}^\infty (-4)^kx^k \mathrm dx = \sum\limits_{k=1}^\infty \frac{(-4)^{k-1}}{k}x^{k} + c $

c)
Für alle $ x \in \mathbb{R}$ mit $ \vert x\vert < \frac{1}{4} = \rho$ kann die geometrische Reihe auf folgende geschlossene Form gebracht werden:

$\displaystyle \sum\limits_{k=0}^\infty (-4)^kx^k = \sum\limits_{k=0}^\infty (-4x)^k = \frac{1}{1-(-4x)} = \frac{1}{1+4x}$

d)
Die Stammfunktion der entstanden Funktion lautet:

$\displaystyle \int \frac{1}{1+4x} \mathrm dx = \frac{1}{4}\ln\vert 1+4x\vert +c$

[vorangehende Seite] [nachfolgende Seite] [Gesamtverzeichnis][Seitenübersicht]
  automatisch erstellt am 14.7.2008