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Mathematik-Online-Kurs: Differentialrechnung - Übungen - Grenzwerte, Reihen und Stetigkeit

Monotonie, Beschränktheit, Konvergenz einer Rekursionsfolge

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#./aufgabe95.tex#Sei $ a$ eine positive reelle Zahl und $ (x_n)$ die rekursiv definierte Folge

$\displaystyle x_0=a,\quad x_{n+1} = \frac{1}{2}\left(x_n+\frac{a}{x_n}\right),\quad n\in\mathbb{N}_0. $

a)
Untersuchen Sie $ (x_n)$ auf Monotonie und Beschränktheit.
b)
Zeigen Sie, daß $ \vert x_{n+1}-\sqrt a\,\vert = \frac{1}{2x_n}\,\vert x_n-\sqrt a\,\vert^2$, für alle $ n\in\mathbb{N}_0$, und beweisen Sie damit die Konvergenz der Folge $ (x_n)$ gegen $ \sqrt{a}$.
c)
Schätzen Sie den Fehler $ \vert x_{20}-\sqrt{a}\vert$ für $ a=2$.

(Aus: HM I , WS 90/91)
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  automatisch erstellt am 6.2.2018