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Mathematik-Online-Kurs: Differentialrechnung - Übungen - Grenzwerte, Reihen und Stetigkeit

Randlänge und Flächeninhalt eines Weihnachtssterns

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Einem regelmäßigen achteckigen Weihnachtsstern (Oktagramm) werden wiederholt verkleinerte konzentrische Sterne einbeschrieben. Dabei wird der jeweilige Nachfolger in das innere Achteck (Oktagon) des Vorgängers eingepasst.
\includegraphics[width=0.4\linewidth]{G046_bild_1}         \includegraphics[width=0.4\linewidth]{G046_bild_2}
Die Punkte $ A$ und $ B$ haben beim äußersten Stern den Abstand $ 1$. In welchem Verhältnis stehen die Längen $ \ell_n$ dieser Grundseiten aufeinanderfolgender Sterne zueinander? Berechnen Sie die Gesamtlänge der schwarzen Randlinien sowie die Summe der grau eingefärbten Flächen bei der Grenzfigur.

Antwort:
$ \dfrac{\ell_{n+1}}{\ell_n}$ $ =$
Grenzwert der Gesamtlänge der Randlinie:
Grenzwert der eingefärbten Flächen:
(auf vier Dezimalstellen gerundet)


   

(Autor: Marco Boßle)
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  automatisch erstellt am 6.2.2018