Entwicklung von Marktanteilen, Eigenwerte und Eigenvektoren der Übergangsmatrix

Die Umsätze zweier rivalisierender Firmen entwickeln sich wie folgt:

In jedem neuen Jahr werden des bisherigen eigenen Umsatzes und des bisherigen Umsatzes der konkurrierenden Firma eingenommen.

a)

Stellen Sie die zugehörige Übergangsmatrix auf.

b)

Berechnen Sie die Eigenwerte und Eigenvektoren von .

c)

Im ersten Jahr habe die erste Firma keinen Umsatz (Neugründung). Nach wievielen Jahren ist die Differenz der Umsätze der beiden Firmen zum erstenmal auf weniger als 1% des Gesamtumsatzes gesunken?

Antwort:
a)
b) Eigenwerte und Eigenvektoren:
,        
,        
c) nach Jahren