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Mathematik-Online-Kurs: Mehrdimensionale Integration - Übungen - Transformationssatz

Gebietstransformation bei der Integration

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Es sei $ D$ das durch die Ellipsen $ x^2+9y^2=9$ und $ x^2+9y^2=81$ sowie die Geraden $ y=x$ und $ y=0$ eingeschlossene Gebiet im ersten Quadranten der $ xy$-Ebene.
a)
In welches Gebiet $ \tilde{D}$ der $ r\varphi$-Ebene geht $ D$ bei der Koordinatentransformation

$\displaystyle x=3r \cos \varphi\ ,\quad y= r \sin \varphi $

über? Skizzieren Sie $ D$ und $ \tilde{D}$.
b)
Berechnen Sie die Jacobi-Matrix $ \dfrac{\partial(x,y)}{\partial(r,\varphi)}$ der Transformation.
c)
Berechnen Sie mit Hilfe von a) und b) das Integral

$\displaystyle I=\iint\limits_D {xy \over x^2+9y^2}\,dx\,dy\,. $

(Aus: HM III mach, bau, umw WS 2002/03)
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  automatisch erstellt am 10.3.2017