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Mathematik-Online-Kurs: Mehrdimensionale Integration - Übungen - Kurven- und Flächenintegrale

Tangentialvektoren und Oberflächenintegral einer parametrisierten Fläche

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Berechnen Sie für die durch

$\displaystyle (\varphi, z)\longrightarrow \vec{r}\,(\varphi, z)=\left(\begin{ar... ...arphi \\ z\end{array}\right), \quad \varphi\in [0, 2\pi), \quad z\in [0, 1/2] $

parametrisierte Fläche $ S$
a)
die Tangentialvektoren,
b)
das Flächenelement $ dS=g\left( \varphi,z\right)d\varphi dz\,, $
c)
den Flächeninhalt.

Antwort:

a)
$ \partial_\varphi \vec{r}=$ $ \left(\rule{0pt}{7ex}\right.$
$ z$ $ \varphi$
$ z$ $ \varphi$
$ \left.\rule{0pt}{7ex}\right)$          $ \partial_z \vec{r}=\left(\rule{0pt}{7ex}\right.$
$ z$ $ \varphi$
$ z$ $ \varphi$
$ \left.\rule{0pt}{7ex}\right)$

(Tragen Sie jeweils $ \cosh,\; -\cosh,\; \sinh,\; -\sinh,\; \sin,\; \cos$ oder Zahlenwerte ein)
b)
$ g(\varphi, z):$     1 ,      $ \cos\varphi$ ,     $ \sinh z$ ,     $ \sin^2 z$ ,     $ \cosh^2 z$ ,      $ \sinh z \sin\varphi$
c)
(auf vier Dezimalstellen gerundet)


   

(Aus: Scheinklausur HM III, WS 2003/04, Prof. Höllig)
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  automatisch erstellt am 10.3.2017