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Mathematik-Online-Kurs: Mehrdimensionale Integration - Übungen - Rotationskörper, Schwerpunkt und Trägheitsmoment

Parameterabhängiger Drehkörper, Extremwertuntersuchung des Volumens

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Gegeben sei die von dem reellen Parameter $ \alpha$ abhängige Funktion

$\displaystyle f(x)=(x-\alpha)\sqrt{\sin x} \; . $

a)
Durch $ 0\leq y \leq \vert f(x)\vert$ mit $ 0\leq x\leq \pi$ wird eine Fläche begrenzt. Berechnen Sie das Volumen $ V(\alpha)$ des Körpers, der durch Rotation dieser Fläche um die $ x$-Achse entsteht.
b)
Bestimmen Sie das Minimum $ V_{\min}$ und Maximum $ V_{\max}$ von $ V(\alpha)$ für $ \alpha\in [0,\pi]$.

Antwort:

a)
$ V(\alpha) = $ $ \;\alpha^2 + $ $ \;\alpha + $

b)
Das Minimum wird angenommen für
         $ \alpha = 0$,          $ \alpha = \pi/3$ ,          $ \alpha = \pi/4$ ,          $ \alpha = \pi/2$.
$ V_{\min} =$

Das Maximum wird angenommen für
         $ \alpha = 0$,          $ \alpha = \pi/3$ ,          $ \alpha = \pi/4$ ,          $ \alpha = \pi/2$.
$ V_{\max}=$
(auf vier Dezimalstellen gerundet)
   
(Aus: Höllig, HM-Prüfungsaufgabe Frühjahr 2004)
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  automatisch erstellt am 10.3.2017