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Mathematik-Online-Kurs: Mehrdimensionale Integration - Übungen - Partielle Integration

Hauptsatz für mehrdimensionale Integrale

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Berechnen Sie für den Zylinder

$\displaystyle K:\quad \varrho^{2}=x^{2}+y^{2}\leq 1 \; , \quad 0\leq z \leq h $

und das Skalarfeld $ U(x,y,z)=z/(1+\varrho^{2})$

$\displaystyle I=\iiint\limits_{K}\Delta U \, dK$   sowie$\displaystyle \qquad \vec{J}=\iiint\limits_{K} U\operatorname{grad} U\, dK \; , $

indem Sie beide Integrale als Oberflächenintegrale schreiben und dann die einzelnen Anteile von Boden-, Mantel- und Deckfläche berechnen. Verifizieren Sie zuerst, dass

$\displaystyle \operatorname{grad} U=\frac{\alpha\varrho z}{(1+\varrho^{2})^{2}}\vec{e}_{\varrho}+\frac{\beta}{1+\varrho^{2}}\,\vec{e}_{z}\,, $

und bestimmen Sie die reellen Konstanten $ \alpha$ und $ \beta$.

Antwort:
$ \operatorname{grad} U=\frac{\alpha\varrho z}{(1+\varrho^{2})^{2}}\vec{e}_{\varrho}+\frac{\beta}{1+\varrho^{2}}\,\vec{e}_{z}$ mit $ \alpha =$ , $ \beta =$
$ I=$ $ h^2\pi$
$ \vec{J}$ $ = $ $ h^2\pi$ $ \left(\rule{0ex}{5ex}\right.$
$ \left)\rule{0ex}{5ex}\right.$
   

(Aus: Höllig, HM-Prüfungsaufgabe Frühjahr 2004)
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  automatisch erstellt am 10.3.2017