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Mathematik-Online-Kurs: Vektoranalysis - Übungen - Integralsätze von Gauß, Stokes und Green

Fluss eines Vektorfelds durch die Oberfläche einer Halbkugel

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Berechnen Sie für das Vektorfeld $ \vec{F}=(x+y^2,y+z^2,z+x^2)^t$ und die durch die Flächen

$\displaystyle S_1:\, x^2+y^2+z^2=1,\, z\ge0,\qquad S_2:\, x^2+y^2 \le 1,\, z=0 \, $

beschriebene Hemisphäre
a)
die Rotation und Divergenz von $ \vec{F}$,
b)
den Fluss von $ \vec{F}$ durch $ S_2$ von unten nach oben,
c)
mit Hilfe des Satzes von Gauß den Fluss von $ \vec{F}$ durch $ S_1$ von unten nach oben.

Hinweis: ,,Von unten nach oben`` bedeutet, daß die $ z$-Komponente des Normalenvektors der Fläche $ \ge 0$ sein muss.

Antwort:
a) $ \operatorname{rot}\vec{F}=$
$ -\left(\rule{0cm}{8ex}\right.$
z  
x  
y  
$ \left)\rule{0cm}{8ex}\right.$
,         $ \operatorname{div} \vec{F} =$
b)
c) $ /$$ \pi$      (Bruch vollständig gekürzt)
   

(K. Höllig, HM-Prüfungsaufgabe, 10. März 1992)
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  automatisch erstellt am 10.3.2017