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Mathematik-Online-Kurs: Differentialgleichungen - Übungen - Differentialgleichungen zweiter Ordnung

Lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung, Resonanzfrequenz

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Bestimmen Sie für die Differentialgleichung $ u^{\prime\prime}+6u^\prime+25u=f(t)$
a)
die allgemeine reelle Lösung $ u_h$ der homogenen Gleichung ($ f(t)=0$),
b)
die periodische Lösung $ u_p$ für $ f(t)=$e$ ^{\,{\rm {i}} \omega t},\ \omega>0$, sowie deren Realteil $ {\operatorname{Re}}\,u_p$,
c)
die Resonanzfrequenz $ \omega_*$, für die der Betrag der komplexen Amplitude $ \vert u_p\vert$ maximal wird.

Antwort:

a)
$ u_h(t)=$ keine Angabe ,
e$ ^{at}\,(c_1 \cos(bt)+c_2 \sin(bt))$ , $ c_1$   e$ ^{at}+c_2$   e$ ^{bt}$
mit $ a =$ , $ b=$
b)
$ {\displaystyle{u_p(t)=\frac{{\text{e}}^{\,{\rm {i}} \omega t}}{a\omega^2+b {\rm {i}} \omega+c}}}$      mit $ a =$ , $ b=$ , $ c=$
$ \operatorname{Re} u_p(t)=$
$ \displaystyle{\frac{(25-\omega^2)+6\omega}{(25-\omega^2)^2+(6\omega)^2}}$ , $ \displaystyle{\frac{(25-\omega^2)-6\omega\sin \omega t}{(25-\omega^2)^2+(6\omega)^2}}$ , $ \displaystyle{\frac{(25-\omega^2)\cos \omega t+6\omega\sin \omega t}{(25-\omega^2)^2+(6\omega)^2}}$
c)
$ \omega_* =$ $ \rule{0ex}{2ex}^{1/2}$

   
(Aus: Höllig, HM-Prüfungsaufgabe Frühjahr 2004)
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  automatisch erstellt am 10.3.2017