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Mathematik-Online-Kurs: Differentialgleichungen - Übungen - Differentialgleichungssysteme

Parameterabhängiges Differentialgleichungssystem erster Ordnung, Stabilität

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Bestimmen Sie den Stabilitätstyp (z.B. instabiler Knoten, neutrales Zentrum,$ \ldots$) des Differentialgleichungssystems

$\displaystyle u^\prime=\left( \begin{array}{cc} \alpha & -3 \\ 1 & -\alpha \end{array}\right)u $

im Ursprung $ (0,0)^{\operatorname{t}}$ in Abhängigkeit von dem reellen Parameter $ \alpha$ mit $ \vert\alpha\vert\neq \sqrt{3}$.

Bestimmen Sie die allgemeine Lösung für $ \alpha=2$ und geben Sie alle Anfangswerte $ u(0)$ an, für die $ \lim\limits_{t\rightarrow \infty}u(t)=(0,0)^{\operatorname{t}}$.

Antwort:
Stabilitätstyp des Ursprungs für
$ \alpha < \sqrt{3}:$ keine Angabe , instabiler Knoten , stabiler Knoten ,

                 neutrales Zentrum , instabiler Sattel
$ \alpha > \sqrt{3}:$ keine Angabe , instabiler Knoten , stabiler Knoten ,

                 neutrales Zentrum , instabiler Sattel
Allgemeine Lösung für $ \alpha=2$:      $ u(t) = c_{1}$e$ ^{\lambda_1 t}\left(\begin{array}{c} a \\ 1 \end{array}\right)+ c_{2}$e$ ^{\lambda_2 t}\left(\begin{array}{c} b \\ 1 \end{array}\right)$
mit $ \lambda_1 = $ $ < \lambda_2 = $ und $ a = $ , $ b = $
Alle gesuchten Anfangswerte $ u(0)=(x_0, y_0)^{\operatorname t}$ haben die Form

     keine Angabe , $ x_0=2y_0$ , $ x_0=0$ , $ y_0=1$ , $ x_0=y_0$ .


   

(Aus: Höllig, HM-Prüfungsaufgabe Frühjahr 2004)
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  automatisch erstellt am 10.3.2017