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Mathematik-Online-Kurs: Differentialgleichungen - Übungen - Differentialgleichungssysteme

Transformation einer Differentialgleichung zweiter Ordnung hin zu einem Differentialgleichungssystem, Fixpunkte und Stabilität

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#./interaufg220.tex#Schreiben Sie die Differentialgleichung

$\displaystyle u^{\prime\prime} = u - \frac{1}{u} $

als System

$\displaystyle \displaystyle\binom{u}{v}^\prime=F(u,v),\ v=u^\prime\,.$

Bestimmen Sie die Fixpunkte und prüfen Sie, ob diese stabil sind. Drücken Sie $ v$ als Funktion von $ u$ aus und geben Sie die Kurven in der $ uv$-Ebene an, die durch die Fixpunkte laufen.


Antwort:
$ F^\prime=\bigg($
$ \displaystyle+\frac{1}{u^2}$
$ \bigg)$


Fixpunkte:
$ v=$ Stabilität: keine Angabe , ist stabil , ist instabil
$ u=\pm$ Stabilität: keine Angabe , ist stabil , ist instabil

Kurven: $ v=\pm($$ ^2-$ $ \,\ln\vert u\vert+c)^{1/2}$
Durch die Fixpunkte verlaufen die Kurven mit $ c=$ .


   

(K. Höllig, HM-Prüfungsaufgabe Herbst 1997)
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  automatisch erstellt am 10.3.2017