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Mathematik-Online-Kurs: Fourier-Analysis - Übungen - Reelle und komplexe Fourier-Reihen

Komplexe und reelle Fourier-Reihe der Exponential-Funktion

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Bestimmen Sie die komplexe und reelle Fourier-Reihe der durch

$\displaystyle f(x)=\exp(x),\,$   für$\displaystyle \, 0<x\leq2\pi,\quad f(x+2\pi)=f(x) $

definierten $ 2\pi$-periodischen Fortsetzung der Exponentialfunktion.

Antwort:
Komplexe Fourier-Reihe:
$ \displaystyle f(x)=\sum_{-\infty}^{\infty}c_k\,$   e$ ^{\text{i}kx}$ mit $ c_k=($e$ ^{2\pi}-$$ )/($$ \pi($ $ -\mathrm{i}k))$
Reelle Fourier-Reihe:
$ a_k=($e$ ^{2\pi}-$$ )/($$ \pi($$ +k^2))$,     $ k=0,1,2,...$
$ b_k=-k($e$ ^{2\pi}-$$ )/($$ \pi($$ +k^2))$,    $ k=1,2,...$
$ \displaystyle f(x)=($e$ ^{2\pi}-$$ )/($ $ \displaystyle \pi) \left[ \rule{0pt}{3ex} \right. \frac{1}{2}+\sum_{k=1}^{\infty}(\cos(kx)-k\,\sin(kx))/($ $ +k^2) \left. \rule{0pt}{3ex} \right]$
   

(K. Höllig, HM-Prüfungsaufgabe, 1. September 1992)
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  automatisch erstellt am 10.3.2017