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Mathematik-Online-Kurs: Komplexe Analysis - Übungen - Komplexe Differenzierbarkeit und konforme Abbildungen

Konforme Abbildung von einem Quadranten über eine Halbebene auf einen Kreis

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Die Abbildung zeigt einen Quadranten, einen Kreis und eine Halbebene in der komplexen Zahlenebene.

\includegraphics[bb=115 466 292 662,clip,width=.3\linewidth]{P370_Bild1}   \includegraphics[bb=115 415 290 660,clip,width=.3\linewidth]{P370_Bild2}   \includegraphics[bb=115 450 292 650,clip,width=.3\linewidth]{P370_Bild3}

Bestimmen Sie konforme Abbildungen $ \ f_1, f_2$, für welche gilt

a)
$ f_1:\,D_1 \to D_2 $ mit $ \mathrm{i} \to \mathrm{i}$
b)
$ f_2:\,D_2 \to D_3 $ mit $ 0 \to -\mathrm{i}$ und $ 1 \to 0 $

Antwort:

a)
$ f_1$ ist die Hintereinanderausführung von

keine Angabe    
$ w_1=z+a$ $ w_2=b\,z^2$
$ w_1=a\,z^2$ $ w_2=b\,\exp(\mathrm{i}\varphi)z$
$ w_1=a\,z$ $ w_2=z+b$
$ w_1=1/z$ $ w_2=b\,z$
$ w_1=a\,\exp(\mathrm{i}\varphi)z$ $ w_2=1/z$


$ f_1(z) = w_2(w_1(z)) = $ $ z\wedge$ $ +$     (Eingabe einer Potenz $ z^s$ als $ z\wedge s$)
b)
$ f_2(z)=\mathrm{i}(z-$$ )/($$ z+$$ )$

   
(K. Höllig, HM-Prüfungsaufgabe, 10. März 1992)
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  automatisch erstellt am 10.3.2017