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Mathematik-Online-Kurs: Komplexe Analysis - Übungen - Komplexe Differenzierbarkeit und konforme Abbildungen

Konforme Abbildungen, Gebietstransformationen

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Die Abbildung zeigt das Komplement einer Kreisscheibe, eine Halbebene und einen Quadranten in der komplexen Zahlenebene:

\includegraphics[width=.3\linewidth]{P10_3_Bild1}   \includegraphics[width=.3\linewidth]{P10_3_Bild2}   \includegraphics[width=.3\linewidth]{P10_3_Bild3}

Bestimmen Sie die konformen Abbildungen für welche gilt:

a)
$ f_1:\, D_1\to D_2$ mit $ 0\mapsto-\mathrm{i}$ und $ 1\mapsto\infty$
b)
$ f_2:\, D_2\to D_3$ mit $ \mathrm{i}\mapsto-1-\mathrm{i}$

Antwort:

a)
$ f_1(z)=\mathrm{i}(z+$$ )/($$ z-$$ )$
b)
$ f_2$ ist die Hintereinanderausführung von

keine Angabe    
$ w_1=z+a$ $ w_2=b\,\sqrt{z}$
$ w_1=a\,\sqrt{z}$ $ w_2=b\,\exp(\mathrm{i}\varphi)z$
$ w_1=a\,z$ $ w_2=z+b$
$ w_1=1/z$ $ w_2=b\,z$
$ w_1=a\,\exp(\mathrm{i}\varphi)z$ $ w_2=1/z$


$ f_1(z) = w_2(w_1(z)) =$ $ \sqrt{2z}+$

   
(K. Höllig, HM-Prüfungsaufgabe, 1. September 1992)
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  automatisch erstellt am 10.3.2017