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Mathematik-Online-Kurs: Lineare Algebra - Übungen - Spiegelungen, Drehungen, Kegelschnitte und Quadriken

Typ einer Quadrik mittels Ebenenschnitte

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Bestimmen Sie für die Quadrik

$\displaystyle Q:\, 4x^2+y^2+3z^2-4xy+x+2y=0 $

a)
die Form der Schnittkurve mit der Ebene $ x=\alpha$ in Abhängigkeit von $ \alpha\in\mathbb{R}$
b)
die Hauptachsen
c)
den Typ.
Hinweis: Eine Transformation auf Normalform ist nicht notwendig; der Typ von $ Q$ ergibt sich aus der Form der Schnittkurven.
Antwort:
a)
mit $ \alpha_0=$
$ \alpha<\alpha_0$: ein Paraboloid die leere Menge ein Punkt eine Ellipse
$ \alpha=\alpha_0$: ein Paraboloid die leere Menge ein Punkt eine Ellipse
$ \alpha>\alpha_0$: ein Paraboloid die leere Menge ein Punkt eine Ellipse
b)
Eigenwerte: $ \lambda_1=$ $ \le$ $ \lambda_2=$ $ \le$ $ \lambda_3=$

Eigenvektoren:
$ v_1=\left.\rule{0cm}{5ex}\right($
$ \left)\rule{0cm}{5ex}\right.$, $ v_2=\left.\rule{0cm}{5ex}\right($
$ \left)\rule{0cm}{5ex}\right.$, $ v_3=\left.\rule{0cm}{5ex}\right($
$ \left)\rule{0cm}{5ex}\right.$


(in der ersten und dritten Komponente nur positive, ansonsten nur betragsmäßig möglichst kleine ganzzahlige Einträge)
c)
zweischaliges Hyperboloid ,         elliptisches Paraboloid ,         Zylinder


   

(K. Höllig, HM-Prüfungsaufgabe Herbst 2003)
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  automatisch erstellt am 10.3.2017