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Mathematik-Online-Kurs: Differentialrechnung in mehreren Veränderlichen - Übungen - Inverse und implizite Funktionen

Jacobi-Matrix, Umkehrabbildung

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Betrachten Sie die Abbildung $ f(x,y)=(u,v)=({\text{e}}^x \cos y, {\text{e}}^x \sin y) $.
a)
Skizzieren Sie das Bild des Koordinatengitters.
b)
Bestimmen Sie die Jacobimatrix $ {\rm {J}}f(x,y)$ sowie deren Determinante. Ist $ f$ invertierbar?
c)
Bestimmen Sie $ f^{-1}(u,v)$ in einer Umgebung der Punkte $ (x,y)=(0,0)$ und $ (u,v)=(1,0)$.
d)
Bestimmen Sie $ {\rm {J}}f(u,v)^{-1}$ und überprüfen Sie, daß $ {\rm {J}}f(x,y)\,{\rm {J}}f(u,v)^{-1}=E$ mit $ E$ der Einheitsmatrix.

(Autor: Klaus Höllig)
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  automatisch erstellt am 10.3.2017