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Mathematik-Online-Kurs: Fourier-Analysis - Übungen - Fourier-Transformation

Fourier-Transformation, Skalierung und Integration

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Gegeben seien die Funktionen

$\displaystyle f(x)=\left\{ \begin{array}{lll} x&\!\!\!,\quad&\text{für } \vert x\vert\leq 1 \\ 0&\!\!\!,\quad& \text{sonst} \end{array}\right.$   und$\displaystyle \qquad\quad g(x)=\left\{ \begin{array}{lll} 1-4x^{2}&\!\!\!,\q... ...t\leq 1/2 \\ 0&\!\!\!,\quad& \text{sonst}\qquad \qquad . \end{array}\right. $

a)
Bestimmen Sie mit Hilfe der Fourier-Transformation von $ f$,

$\displaystyle \hat{f}(y)=\frac{2\mathrm{i}}{y^{2}}\,(y\cos y-\sin y)\,, $

die Fourier-Transformationen von $ g'$ und $ g$.
b)
Berechnen Sie $ \displaystyle{\int_{-\infty}^{\infty}\left\vert\hat{g}(y)\right\vert^{2}dy}$ und $ \displaystyle{\int_{-\infty}^{\infty} \hat{g}(y)\,dy}$.

Antwort:
a)
$ \widehat{g^\prime}(y)\ =\ \Bigl($ $ +$ $ {\rm {i}}\,\Bigr)\,\Bigl[\,y^m\cos\Bigl($ $ y\,\Bigr)+$ $ y^n\sin\Bigl($ $ y\,\Bigr)\Bigr]$
mit $ m=$ $ n=$
$ \hat{g}(y)\ =\ \Bigl($ $ +$ $ {\rm {i}}\,\Bigr)\,\Bigl[\,y^m\cos\Bigl($ $ y\,\Bigr)+$ $ y^n\sin\Bigl($ $ y\,\Bigr)\Bigr]$
mit $ m=$ $ n=$
b)
$ \displaystyle{\int_{-\infty}^{\infty}\left\vert\hat{g}(y)\right\vert^{2}dy}=$ ,      $ \displaystyle{\int_{-\infty}^{\infty} \hat{g}(y)\,dy}=$
(auf vier Nachkommastellen gerundet)


   

(Aus: K. Höllig, Diplomvorprüfung HM III, Herbst 2004)
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  automatisch erstellt am 10.3.2017