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Mathematik-Online-Kurs: Lineare Algebra - Übungen - Eigenwerte, Normalformen und Singulärwertzerlegung

Eigenwerte und Eigenvektoren, Matrixpotenz, Diagonalisierung

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Gegeben sei die Matrix

$\displaystyle A=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{cc} 7 & 9 \\ 9 & 7 \end{array}\right)\; . $

a)
Berechnen Sie die Eigenwerte und Eigenvektoren von $ A$.
b)
Für welche Vektoren $ v\in\mathbb{R}^{2}$ existiert der Grenzwert $ \displaystyle{\lim\limits_{n\rightarrow \infty}\frac{\vert A^{n}v\vert}{\vert v\vert}}$, und wie lautet dieser?
c)
Bestimmen Sie eine Transformationsmatrix $ Q$ so, dass $ D=Q^{\operatorname{t}}AQ$ eine Diagonalmatrix ist, und eine reelle Matrix $ B$ mit $ B^{3}=A$.


Antwort:

a)
Eigenwerte: $ \lambda_1={}$$ \le$ $ \lambda_2={}$

Eigenvektoren: $ v_1=\big(\,$ $ \,,\,1\big)^{\operatorname{t}}$,         $ v_2=\big(\,$ $ \,,\,1\big)^{\operatorname{t}}$

b)
Der Grenzwert existiert für Vektoren der Form

keine Angabe ,
     $ v=\alpha v_1+\beta v_2$, für $ \alpha,\beta\in\mathbb{R}\setminus\{0\}$, ,
     $ v=\alpha v_1$, für $ \alpha\in\mathbb{R}\setminus\{0\}$ ,
     $ v=\beta v_2$, für $ \beta\in\mathbb{R}\setminus\{0\}$

und beträgt .

c)
Geben Sie die orthogonale Transformationsmatrix $ Q$ an, bezüglich der $ D$ in der Diagonalen die aufsteigend sortierten Eigenwerte enthält:
$ Q=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\left(\rule{0pt}{5ex}\right.$
$ \left.\rule{0pt}{5ex}\right)$ .
Mit Hilfe von $ Q$ und $ D$ ergibt sich
$ B=\dfrac{1}{2}\left(\rule{0pt}{5ex}\right.$
$ \left.\rule{0pt}{5ex}\right)$ .


   

(Aus: Höllig, HM-Prüfungsaufgabe Herbst 2004)
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  automatisch erstellt am 10.3.2017